Лф((о) на приращение ее аргумента:

(7.74)

Пусть требуется обеспечить настолько близкие к желаемым динамические свойства управляющего фильтра, чтобы относительная по-грещность реализации АЧХ не превыщала малой величины е, т. е. ДЛ (со1,р)/Лф(сОгрХе. Тогда из (7.74) получим требование

I согр-А(сОгр) I < еЛф (согр) (I Лф (ш)М.о (7.75)

Введем обозначения

й = соТ/2, Fi(ffl) = 1 -1§ш/й,

с учетом которых левую часть (7.75) запишем в виде Это позволяет получить из (7.75) неравенство

Fl (tVp) <

1 р

с(Лф (ш)

d<x)

(7.76)

Значения функции Fi(co), вычисленные по формуле (7.76), даны в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Формула (7.76) и табл. 7.2 позволяют обоснованно выдвинуть требование к периоду дискретности Т исходя из заданной АЧХ непрерывного прототипа цифрового фильтра Лф(со) и величин граничной частоты в спектре задающего воздействия ojpp и относительной погрешности реализации АЧХ е. Для этого следует вычислить правую часть неравенства (7.76), найти по табл. 7.2 требуемое значение сорр и, наконец, определить максимальное допустимое значение периода дискретности по формуле

Г<2йрр/сОрр. (7.77)

Заметим, что аналогичным образом можно вывести требование к величине периода дискретности по заданной допустимой погрешности реализации ФЧХ фильтра.

Теперь рассмотрим влияние периода дискретности на средний квадрат ошибки от непрерывного возмущающего воздействия со спектральной плотностью Sj, (co), выражаемой формулой-(7.57). Это влияние обусловлено тем, что вследствие периодичности АЧХ цифрового фильтра он пропускает спектральные составляющие возмущающего воздействия не только вблизи нулевой частоты, где лежит полоса пропускания непрерывного фильтра-прототипа, но и вблизи частот гЬ2я Г, /=1, 2, ... Их вклад эквивалентен увеличению уровня спектральной плотности воздействия на нулевой частоте, который составит

- оа \ 1 /

Так как даже при 1=\ знаменатель выражения под знаком суммы в (7.78) существенно превышает единицу, то справедлива приближенная формула

(0) (0) 1 X S (0) (1 + ) . (7.79)

Здесь использована сумма бесконечного ряда 2 / ==76.

Учитывая, что Sg{0)2DJ\i, формула (7.78) вполне согласуется с (7.61). Различие в множителе Г объясняется тем, что (7.61) выражает спектральную плотность решетчатого случайного процесса, а (7.79) - эквивалентного непрерывного процесса.

Таким образом, эффект квантования непрерывного хигнала рассогласования во времени приводит к увеличению уровня спектральной плотности эквивалентного непрерывного возмущающего воздействия на относительную величину

5(0)-5 (0) ixT

S h(0) --Т2-- (7-80)

Поскольку средний квадрат ошибки от возмущающего воздействия в соответствии с формулой (7.55) пропорционален уровню его спектральной плотности на нулевой частоте, выражение (7.80) дает также относительное превышение среднего квадрата ошибки от возмущающего воздействия в цифровой системе по сравнению с гипотетической непрерывной системой, получаемой при Г-0. Если эта величина не должна превышать некоторого малого числа д, то из (7.80) следует, что Г1/12Д/р,. Например, при д=0,08 период дискретности должен удовлетворять условию

Г<1/р. (7.81)

С целью смягчения требования (7.81) иногда целесообразно специально несколько увеличить постоянную времени дискриминатора.

При этом уменьшается характеризуемая показателем \i ширина спектра воздействия, подвергаемого квантованию во времени.

Заметим, что в некоторых случаях зависимость суммарной среднеквадратичной ошибки цифровой системы от периода дискретности при фиксированной структуре системы не является монотонно возрастающей. Тогда существует некоторое оптимальное значение периода дискретности, максимизирующее точность управления в системе с заданной структурой.

Пример 7.8. Выберем период дискретности системы с цифровым управляющим .фильтром, синтезированным по непрерывному фильтру-прототипу, при следующих

исходных данных: Ал, {а) = У {l-{-Т1а)/{1-{-TW) , Tj =l с, Т = 0,1 с, сорп = = 10 с-1, 6=10-2, j20 с-1.

При этом полупим: Лф (сорр) = 7,1,

Лф(со)

..,35 с-

- ,р (1 + г?(о?р)1/2(1+гсор)з/2

еф (Мрр)

СОрр

Лф (со)

1:11:1 = 2 0.10-2 10-0,35

По табл. 7.2 находим С0рр = 0,70, что при подстановке в (7.77) дает Т sQ,\\ z. Формула (7.81) дает условие Г < 0,05 с. Обоим найденным требованиям удовлетворяет значение Т = 0,05 с.

Выбор характеристик АЦП и ЦАП. Цены единиц младших разрядов преобразователей и выбирают исходя из допустимых значений средних квадратов составляющих ошибки управления ei [л] и el<[n\, вызываемых шумами квантования по уровню. Более просто эта задача решается по отношению к АЦП. Дело в том, что точки приложения шума квантования в АЦП vlti] и возмущающего воздействия v [п] разделяет лишь безынерционное звено с коэффициентом передачи йд. Поэтому в соответствии с формулами (7.55) и (7.67) справедливо выражение

4i [ ] D

ebz [п] kkSv (0)

Т. е. средние квадраты ошибки от шума квантования и флуктуационной ошибки от возмущающего воздействия относятся так же, как уровни спектральных плотностей приведенных к входу системы шума квантования и возмущающего воздействия. Если необходимо, чтобы величина такого отношения не превышала 10 2 то ошибка от квантования в АЦП практически не будет увеличивать результирующую ошибку управления. Это дает неравенства Dx=bll\2\Q-klSl 6i 1/(0)/3. Отсюда после перехода к спектральной плотности непрерывного возмущающего воздействия по формуле 5, (0) Г5* (0) получим

6i<>-%- (7-82)

Поскольку условие (7.82) выведено в предположении, что шум квантования по уровню - дискретный белый шум, оно имеет силу только