чить теоретически предельно высокое качество системы, т. е. провести оптимальный синтез по определенному критерию, то такой синтез в общем случае должен быть выполнен по отношению ко всей системе в целом. Подобные задачи составляют предмет исследования теории оптимальной нелинейной фильтрации дискретных процессов, которая находится сейчас в стадии развития. Однако в характерном для практики случае сравнительно медленного изменения задающего воздействия раздельный синтез не приводит к потерям в качестве управления, что делает правомерным его использование.

Если считать, что дискриминатор и исполнительное устройство заданы, то синтез цифровой системы сводится к синтезу цифрового фильтра, т. е. выбору дискретной передаточной функции D{z), периода дискретности, количества двоичных разрядов в АЦП и ЦАП и цен единиц младших разрядов этих преобразователей.

Поскольку цифровой фильтр фактически выполняет в системе функции последовательного корректирующего устройства, его дискретная передаточная функция должна удовлетворять условию

D(z) = W(z)/W,Az), (7.70)

где W(z) - желаемая дискретная передаточная функция разомкнутого контура системы; W {z) - дискретная передаточная функция неизменяемой части, которую в соответствии со структурной схемой на рис. 7.13 можно определить как

При выборе желаемой дискретной передаточной функции W{z) или однозначно связанной с ней частотной передаточной функции жЦЦ применимы те же подходы, что и в непрерывных системах. Однако здесь подразумевается, что показатели точности, запаса устойчивости и быстродействия характеризуют закономерности изменения управляемой величины как решетчатой, а не непрерывной функции времени. Возможно использование оптимальных дискретных фильтров Винера или Калмана [2, 16]. Весьма широко используется метод логарифмических частотных характеристик, согласно которому сначала с учетом требований по точности и быстродействию выбирают низкочастотный участок ЛАХ L*k()=20 1§1РГж(/)1- Затем с учетом требований по запасу устойчивости формируют ее среднечастотный участок таким образом, чтобы вблизи частоты среза был достаточно протяженный отрезок ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек.

Если ЛАХ неизменяемой части системы в области низких псевдочастот может быть приведена к приемлемому виду простым перемещением вдоль оси ординат, т. е. изменением добротности, то коррекция сводится к демпфированию системы для получения требуемого запаса устойчивости. Летоды демпфирования с подавлением высоких и средних псевдочастот и с поднятием высоких псевдочастот иллюстрируются рис. 7.14, а, б, в соответственно, где желаемые ЛАХ показаны пунктиром, а ЛАХ неизменяемой части - сплошной линией.

Часто при нахождении дискретной передаточной функции цифрового фильтра за основу принимают передаточную функцию Wip) его непрерывного прототипа, который привел бы передаточную функцию разомкнутого контура системы к желаемому виду. Считается, что чем ближе динамические свойства цифрового фильтра и идеального непрерывного фильтра-прототипа, тем выше качество цифровой системы. Однако полная эквивалентность цифрового и непрерывного фильт-

ров невозможна хотя бы потому, что выходной сигнал непрерывного фильтра в общем случае - сранительно гладкая непрерывная функция, а выходной сигнал цифрового фильтра с экстраполятором нулевого порядка - ступенчатая функция, скачкообразно изменяющаяся в тактовых точках. Поэтому близость динамических свойств цифрового и непрерывного фильтров можно понимать несколько по-разному, рассматривая, например, временные или частотные характеристики этих фильтров [91.

Один из наиболее простых подходов состоит в том, что ставится требование хорошего совпадения АЧХ и ФЧХ цифрового и непрерывного фильтров на низких частотах ОсосОрр. Граничную частоту cop выбирают так, чтобы на рассматриваемом отрезке низких частот была сосредоточена основная часть мощности в спектре задающего воздействия. Если период дискретности достаточно мал и выполняется условие сОгр-л;/Г, то для нахождения частотной передаточной функции цифрового фильтра достаточно заменить в частотной передаточной функции непрерывного фильтра-прототипа частоту со на псевдочастоту К и учесть коэффициенты передачи линеаризованных АЦП и ЦАП. Это дает формулу

D*(A) = бЛ-Wф(co)/< =я. (7.71)

Перейдя в (7.71) к переменной z по формулам (7.12) и (7.14), получим выражение для дискретной передаточной функции цифрового управляющего фильтра

Заметим, что цифровой фильтр может быть реализован в виде устойчивого алгоритма вычислений, удовлетворяющего условию грубости [3], только в случае, когда степень числителя дробно-рациональной частотной передаточной функции D* (jk) не превышает степени ее знаменателя и, следовательно, найденная по формуле (7.72) дискретная передаточная функция D{z) не содержит в знаменателе свободных множителей z+1.

Пример 7.7. Найдем дискретную передаточную функцию цифрового управляющего фильтра и алгоритм работы реализующего его цифрового вычислителя, если непрерывный фильтр-прототип является интегрирующим звеном с передаточной функцией иф (р) =йф/р.

В соответствии с формулой (7.72) получим

фТЙ! z+l kT l+z-i 26 z-l ~ 2 1-г-1

где й = Афб1б2-

Так как дискретная передаточная функция связывает г-преобразования входного и выходного сигналов цифрового фильтра X {г) и Xi{z) уравнением Xi (г) = = D (z) X {z), то при переходе к оригиналам получим рекуррентное соотношение

хЛп] = ~(х[п]+х[п-1]) + х,[п~\],

известное в вычислительной математике как формула трапеций для дискретного интегрирования.

Приведенный пример поясняет смысл метода синтеза цифровых фильтров, основанного на замене частоты псевдочастотой и часто называемого методом билинейного преобразования. Он состоит в том, что непрерывные интегрирующие звенья, входящие в фильтр-прототип, заменяются дискретными интеграторами, работающими по формуле трапеций.

Выбор периода дискретности. При выборе периода дискретности Т приходится находить компромиссное решение с учетом двух противоречивых требований. Во-первых, чрезмерное уменьшение периода дискретности при определенном быстродействии цифрового вычислителя ограничивает допустимую сложность алгоритма вычислений, которые производятся в реальном масштабе времени и на каждом такте должны быть выполнены за время не превышающее значения Т. Во-вторых, увеличение пер иода дискретности также нежелательно, поскольку это приводит к возрастанию информационных потерь при квантовании непрерывного сигнала рассогласования и в конечном счете ухудшает качество управления. Последнее обстоятельство связано с периодичностью частотных характеристик цифровых фильтров, вследствие которой удается придать им желаемую форму лишь на частотах ал/Т. Это приводит к нежелательным динамическим искажениям обрабатываемого сигнала, а также к увеличению составляющей ошибки от возмущающего воздействия. Рассмотрим сначала влияние периода дискретности на качество обработки полезного сигнала рассогласования. Если нахождение дискретной передаточной функции цифрового фильтра проведено по непрерывному прототипу с использованием формул (7.71) и (7.72), то абсолютная погрешность реализации его желаемой АЧХ Aф{(й) = \Wф(j(l})\ на граничной частоте сорр составит

ДЛ (согр) = Лф (согр)-Лф [К (согр)], (7.73)

где %{(o,)=2T-4g (Огр7/2.

Считая функцию Лф(а)) дифференцируемой в окрестности точки ©гр, перепишем (7.73) в виде произведения производной функции