Пример 7.5. Построим ЛАХ и ЛФХдля импульсной системы, рассмотренной в примере 7.4, и исследуем, как зависит ее запас устойчивости по фазе от значения Ki-

Используя формулу (7.16), перейдем от дискретной передаточной функции W (г) к частотной передаточной функции

l+jXT/2\ Ki(l-jlTI2)

W* иц = W

откуда

ljlT/iJ- jX

Л* (X) = 1 W* (jK) 1 = iV+7-V4 9о arctg .

Соответствующие ЛАХ и ЛФХ построены на рис. 7.11. Асимптотическая ЛАХ состоит из двух участков с наклонами -20 дБ/дек и нулевым. Прохождение точной ЛАХ, пересечение которой с осью абсцисс дает псевдочастоту среза, показано пунктирной линией. Из рисунка видно, что с увеличением Ki, когда ЛАХ будет перемещаться вверх, запас устойчивости по фазе будет монотонно* уменьшаться от 90° до нуля. Нулевым он станет при KiT = 2, когда точка излома асимптотической ЛАХ совпадает с осью абсцисс.

Для получения аналитической зависимости Щ от Ki запишем уравнение

= 1,

откуда л 1

При /Ci=l/7 получим Дг;) = 45°, при Ki= 1,5/Г -Дг]) =30°.

Установившаяся точность импульсной системы при задающем воздействии полиномиального вида может быть оценена по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы можно представить в виде ряда

е Н = [п] + [п] [д] + ..., (7.49)

где g [п], g [п], g [п] - решетчатые функции, получающиеся в результате дискретизации во времени задающего воздействия g{t) и его производных. Коэффициенты ошибок Со, с, с, . . . представляют собой коэффициенты разложения дискретной передаточной функции по ошибке Яе(г), выражаемой формулой (7.37), в ряд Маклорена по степеням р, т. е.

. [(7.50)

dp Jp=0

Величины, обратные коэффициентам ряда (7.49), по аналогии с непрерывными системами называют соответствующими добротностями. Например, добротности по скорости и ускорению составляют Ki =

Установившуюся точность при задающем воздействии гармонического вида g[n]=gM sin (сОкгТ-Ьф) оценивают на основе формулы (7.10) при использовании частотной передаточной функции по ошибке.

Для амплитуды ошибки справедлива формула

= I Я, (е/ 0 \ = I я; ЦЦ (7.51)

л 2 , С0к7 где >K = tg--.

Исследование точности управления при случайных воздействиях.

В качестве основного показателя точности импульсной системы при .случайных воздействиях, рассматриваемых как решетчатые стационарные случайные процессы, обычно принимают средний квадрат значений ошибки 3 тактовых точках [п].

Если ко входу системы приложены два воздействия - задающее g [п] и возмущающее v [п.], причем взаимная корреляция между ними отсутствует, то, как и в непрерывных системах, средний квадрат результирующей ошибки является суммой двух составляющих:

e[n] = el[n] + el[n]. (7.52)

Динамическая ошибка Cg [п] связана с тем, что высокочастотные спектральные составляющие задающего воздействия подавляются системой и на выход не проходят. Ее можно представить как результат пропускания решетчатой функции g [п] через импульсный фильтр с дискретной передаточной функцией Яе(г), определяемой формулой (7.37). При известной спектральной плотности задающего воздействия S*g (Х) средний квадрат динамической ошибки с учетом (7.23) вычисляют по формуле

т С \н:ах)\81(Х) т Г Sg{K)dx

sl -i-2nj l-f/A,r/2l2 2л J Ц1 + и7*(/Л)1(1+/ЯГ/2)2

- СС - СС

Ошибка от возмуиаюшго воздействия ej,[n] объясняется прохождением на выход системы низкочастотных спектральных составляющих возмущающего воздействия. Средний квадрат этой ошибки при известной спектральной плотности возмущающего воздействия SI (к) с учетом (7.23) и (7.39 ) вычисляют по формуле

г Г ]н*ах) Isld) , х г \w*m\s; (X)dK

1 -2л.1 1+АГ/22 -гл J I [l + \17*(/A)J(l+/W72)i

- - 00

Часто спектральная плотность S* {к) при малых значениях X изменяется настолько медленно, что ее можно считать равномерной в пределах полосы пропускания системы. Тогда формула (7.54) принимает вид

е,[п] = 5:(0)ГА/з, (7.55)

I 7* (jX) \dX

f Г \W*{jX)\X

Ь-2л.] \l\ + W*(jX)\{\+jXTr2)\-

- эквивалентная полоса пропускания замкнутой импульсной системы для дискретного белого шума.

Формулы (7.52) - (7.56) позволяют вычислить средний квадрат

результирующ,ей ошибки elnl и оценить точность системы. Входящ,ие в них спектральные плотности решетчатых случайных процессов g[n] и V In], соответствующих дискретным значениям задающего и возмущающего воздействий, однозначно связаны со спектральными плотностями и корреляционными функциями исходных непрерывных процессов и могут быть выражены через эти характеристики.

Существенно, что если при анализе непрерывных систем радиоавтоматики непрерывное возмущающее воздействие v{t) обычно можно было считать белым шумом, то при анализе импульсных систем такая модель недопустима, так как она привела -бы к бесконечно большому уровню спектральной плотности SJ(A-)=D решетчатого процесса V [п]. Поэтому необходимо учитывать конечную ширину спектра непрерывного возмущающего воздействия, приложенного ко входу импульсного элемента. Часто это воздействие считают экспоненциально-коррелированным шумом с корреляционной функцией ?он(т) = =bj,exp(-(хг) и спектральной плотностью

S. (co) = f. (7.57)

Тогда /?г,[т]=?г,н(т)1т=тг=1>оехр (-р.И1Г) и для спектральной плотности решетчатого процесса v In] в соответствии с (7.18) можно записать

Se/-) = 2ReF(e/)-i?40] = -§ibz , (7,58)

где (i=exp(-р,Г).

Перейдя в (7.58) к псевдочастоте по формуле (7.20), получим

T(i + VTl) (-59

где эквивалентная постоянная времени

3=ite!=icthif. (7.60)

Учитывая, что cth а л; 1/а--а/3 при а < 1, из (7.59) и (7.60) для входящей в формулу (7.55) величины Si (0) при [iT<2 найдем выражение

S;(0)=H% = D,cthif -(l + i). .(7.61)

§ 7.3. ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

преимущества цифровых систем. Систему радиоавтоматики называют цифровой, если вся она или ее отдельные функциональные элементы построены с использованием ЦВМ или специализированных цифровых устройств. К важным преимуществам цифровых систем перед аналоговыми относятся высокая стабильность параметров, простота настройки и регулировки, большая надежность.