Воспользовавшись приближенной формулой (7.34), не учитывающей конечную длительность импульса, получим

W (г, Е) S yrZe

Р<1+Г р)

г-1 z-dj

zd \ z-d-de(z-l) - (z-l){z-d)

где K-=yTk ; Й = ехр(-Г/Г ) < 1.

При 6 = 0 формула приобретает более простой вид:

()-2-l)(z-d)-

Рассмотрим теперь замкнутую систему, считая ее импульсным фильтром со структурной схемой, показанной на рис. 7.7, где е [п]= =g 1п]~у [п]. Переходя к изображениям, запишем Е(г)==С{г) - У{г} или E{z)=G{z)--W{z)E{z). Решение последнего уравнения относительно E(z} дает

Ei)-j:9j-fiA)Giz),i7.35)

1 I , I

д[п]

eln]

VJ(z]

УСГ71

Рис. 7.7

- дискретная передаточная функция замкнутой системы для ошибки.

Подставляя (7.36) в (7.35), для изображения выходной величины получим

Y{z, e) = ll=.H{z, г)С{г), (7.38)

H(z s)-Ji l + W(z-

(7.39)

- дискретная передаточная функция замкнутой системы.

В частном случае, когда е = 0, выражение (7.38) записывают в сокращенной форме Y{z)=H(z)G{z), где H(z}=H(z, 0).

Замети.м, что изображение смещенных значений ошибки E(z, е) принципиально не может быть получено на основе аналогичного (7.38) выражения, в которое входило бы изображение только несмещенных значений задающего воздействия G(z). В отличие от выходной величины текущая ошибка зависит от закона непрерывного изменения задающего воздействия g{t}, а не только от его значений при t=nT. Поэтому передаточной функции Не (z, е) не существует и для нахождения изображения смещенных значений ошибки следует использовать формулу

£(2, е) = С(г, е)-Г(2, e) = G(2, е) -Я(2, e)G(2). (7.40)

Из выражения (7.39) легко получить обратное по отношению к нему выражение

W{z, г)- -(-У

1-Я(г)-

(7.41) 211

Таким образом, существует взаимно однозначная связь между дискретными передаточными функциями W {z, е) и Я (г, е). Знание любой из них позволяет записать разностные уравнения для смещенных значений выходной величины или ошибки и дает полную информацию для исследования всех свойств линейной импульсной системы. Во многих практических случаях период дискретности достаточно мал для того, чтобы при исследовании можно было ограничиться рассмотрением процессов в системе лишь в тактовых точках t=nT. Тогда следует принять е=Ои использовать дискретные передаточные функции W{z) и Я (г).

Построение переходных процессов. При известной дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы (7.39) выражение (7.38) позволяет найти изображение выходной величины Y{z, е)= =H{z, e)G(z) при произвольном входном воздействии с известным изображением G{z). Переход от изображения Y{z, е) к оригиналу у [п, е] по таблице путем разложения в ряд Лорана или другими известными методами дает решетчатую функцию, соответствующую дискретным значениям переходного процесса. Наиболее простые выкладки получаются при е= 0. Если значения выходной величины в тактовых точках t=nT не позволяют достаточно хорошо представить непрерывную функцию, описывающую реальный сигнал на выходе системы, то вычисления повторяют при е= 0,5 или других дробных значениях относительного смещения. Получив дискретные отсчеты у [п, е] в достаточно большом числе точек и соединив их на графике плавной линией, можно построить кривую переходного процесса с необходимой точностью.

Переходный процесс можно построить и без нахождения г-преоб-разования выходного воздействия путем непосредственного решения разностного уравнения, описывающего систему и взаимно однозначно связанного с дискретной передаточной функцией Я (г, е). Рассмотрим его запись (7.1), произведенную при е=0. Аналитическое решение такого неоднородного разностного уравнения состоит из переходной и вынужденной составляющих выходной величины:

УИ=Упер[ ] + УвИ-

Переходная составляющая является общим решением однородного разностного уравнения, полученного приравниванием нулю правой части неоднородного уравнения. По аналогии с общим решением дифференциального уравнения ее записывают в виде

Упер [п] = A,z- + Azl + ... + Л,г?. (7.42)

Здесь 2г(1 = 1, 2, [. . . , /) -корни характеристического уравнения

1 + W(z) = 0, . (7.43)

левая часть которого - знаменатель дискретной передаточной функции замкнутой системы (7.39); Л г - постоянные; определяемые из начальных условий.

Однако на практике более удобно численное решение разностного уравнения, основанное на его записи в виде рекуррентного соотно-

шения

У [п] = {Kg [n] + b,g[n~\]+ ...+ b g [п-т]-

-aiy[n - l]-...-aiy[n-l])ao. (7-44)

Формула (7.44) позволяет вычислить каждое последующее значение переходного процесса по его предыдущим значениям и значениям входного воздействия. Она хорошо машинизируется и используется при решении разностных уравнений на ЦВМ. Пусть, например, входное воздействие - единичная ступенчатая решетчатая функция

Г 1 при п>0, S[n\nn] = \ о при п<0,

а начальные условия нулевые, т. е. у [-/]=г/ [-/+1] = . [-П== == 0. Тогда значения переходного процесса составят

г/[0] = Мо-\

y[\] = {b, + bi-a,y[Q])ao = {b, + bi-ЬаПо) а -, y[2]{b,+ bi + b,-aiy[l]-a,y [0]) аф. + Ь + Ь.-Ь.аао--biaia-byia-baao-)at и т. д.

Аналогично производится численное решение при ефО.

Пример 7.2. Построим переходную характеристику замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 7.1, при следующих значениях параметров: Г=0,1с, у=-0,1, fe =100c-i, Г =0,2с. Тогда /С=уГйн=1. d=exp(-Г/Г )=0,607.

Для дискретной передаточной функции замкнутой системы запишем выражение

и/. е) Kz[z~d-de(z~\)] b, + biz-

(z, 4-ijj- i2 jj a)z : l+aiz- + az-

где Ь, = /С(1-de); bi = K(d - d)\ ay = K - Kd-\-d; a = d.

Переход от дискретной передаточной функции к соответствующему разностному уравнению даст

у[п, e] = 6og[tt] + 6ig[tt-1]-aii/[tt-1, е]-a2i/[tt-2, е].

При построении переходной характеристики следует принять g{n\ = \ {п\.

Полученная рекуррентная формула позволяет легко вычислить последовательные значения смещенной решетчатой функции у[п, в] при га = 0, 1, ... на универсальной ЦВМ или с помощью микрокалькулятора. Относительное смещение можно взять произвольным из интервала 0<е< 1.

При 8 = 0, когда 6о=0. 6i = 0,393, ai = -1,214, 0.2 = 0,607, найденные в результате вычислений значения переходного процесса у {t) в тактовых точках t = nT показаны на рис. 7.8 светлыми кружками. Поскольку провести кривую у [t) лишь по этим дискретным значениям затруднительно, повторим вычисления при 6 = 0,5. Тогда значения коэффициентов и 6i изменятся и составят 6 = 0;221, 6i = 0,172. Найденные в результате вычислений значения переходного процесса в моменты времени = (л + 0,5) Г показаны на рис. 7.8 темными кружками. Соединив плавной линией точки, помеченные светлыми и темными кружками, получим кривую переходного процесса y{t), являющуюся переходной характеристикой импульсной системы. Заметим, что ее не следует путать с решетчатой переходной характеристикой импульсного фильтра, определенной лишь в дискретные моменты времени.

Устойчивость импульсных систем. Импульсная система устойчива, если переходный процесс в ней затухает с течением времени и переходная составляющая выходной величины, выражающаяся форму-