деления. Будем рассматривать стационарные решетчатые случайные процессы, законы распределения значений которых не зависят от дискретного времени п. Для них, как правило, выполняется свойства эргодичности, позволяющее определить математическое ожидание и средний квадрат как средние по дискретному времени:

N : У

IN N

Л?->оо -f- r~v +

Для центрированных решетчатых процессов, обычно используемых при анализе точности дискретных систем, математическое ожидание равно нулю, а средний квадрат совпадает с дисперсией, т. е. [nl=Dg.

По аналогии с непрерывными случайными процессами вводится понятие корреляционной функции-

И= iin ШТТ L g[n]g[n + m] = lm g[n]g[n +т].

Корреляционная функция решетчатого случайного процесса является неслучайной решетчатой функцией, основные свойства которой определяются соотношениями: R [0]=g4n], R [оо]=( [п]), R [0]- i[oo]=Dg, R[0]R[m], R[-m] = R[m].

Статистическая связь значений двух стационарных случайных процессов 1 [п] и gi Ы] характеризуется взаимной корреляционной функцией

л- .V

1,2 И = Иш -owrr[\ Si И §2 =lim V, gi[n]g,[п+т],

При/?1, 2[/я]=0 эти процессы называют взаимно некоррелированными.

Анализ прохождения случайных процессов через стационарные фильтры наиболее просто провести в частотной области, когда свойства фильтра характеризуются частотной передаточной функцией, а свойства процесса - спектральной плотностью. Спектральную плотность стационарного решетчатого случайного процесса вводят как двустороннее г-преобразование корреляционной функции:

5 (г) = 2 Rlmjz- . (7.17)

m = -oo

Ее можно выразить также через обычное одностороннее пpeoбpaзo-вание корреляционной функции:

Fiz) = Z{R[m]}=iR[m]z--,

т = 0

если разбить интервал суммирования в (7.17) на части и использовать свойство четности корреляционной функции. Тогда

Siz)= R[m]z- + 2 R[m]z- - R[0]

= F{z)+ 2 /?[-m]2 -7?[0] = f (z) + f (г-1)-/?(0)

или при переходе к круговой частоте со

S (ег-) р (е/сог) /7 (е-/соГ) ; 2 Re F (е/ >Г) -(0). (7.18)

При записи (7.18) учтено, что функции (ewr) и F{&~i) являются комплексно-сопряженными, т. е. имеют одинаковые вещественные и противоположные по знаку мнимые части. Отсюда же видна четность спектральной плотности.

Интегрирование спектральной плотности на интервале дает средний квадрат решетчатого процесса:

я/г я/Г

= I S(e )dco = Js(e/ 0 - (7-19)

-я/г О

Множитель Т, равный периоду дискретности, отличает формулу (7.19) от соответствующей формулы для непрерывного процесса. Причина этого связана с тем, что размерность спектральной плотности (7.18) решетчатого процесса отличается от размерности спектральной плотности непрерывного процесса как раз на размерность времени.

Спектральная плотность может быть представлена как функция псевдочастоты. Поскольку справедливы равенства

1 - АГ/2 с - 7- arc Ig 2 - 1 -. xTli ~ 11 + /7,Г/2

соотношения (7.18) и (7.19) принимают вид

54>0 = 5:r;iW) = 2ReF(±tI§)-;?[0], (7.20)

M JL? mi i (72П

- to

Спектральная плотность 8*{Ц удобна тем, что она обычно является дробно-рациональной функцией квадрата псевдочастоты, а не трансцендентной периодической функцией, как S(e ). Это позволяет использовать при вычислении интегралов вида (7.21) таблицы, составленные для интегралов спектральных плотностей непрерывных случайных процессов (см. приложение).

Типовой задачей анализа импульсных фильтров при случайных воздействиях является нахождение спектральной плотности выходного решетчатого случайного процесса 5 {Ц по известным спектральной плотности входного процесса 5g {к) и частотной передаточной

функции фильтра H*(jK). Решение этой задачи, как и в непрерывных системах, имеет вид

5;(Х) = [Я*(А)2 5(Я). (7.22)

При этом средний квадрат выходного процесса

(7.23)

Шумы квантования по уровню. В отличие от импульсных систем цифровые системы радиоавтоматики не являются линейными импульсными фильтрами даже при малых рассогласованиях, поскольку пред-

- -J

Рис. 7.3

Рис. 7.4

ставление сигналов в цифровой форме связано с их квантованием по уровню. Статическая характеристика входного АЦП показана на рис. 7.3, где 6i - цена единицы его младшего разряда; g - исходное непрерывное значение входной величины; go - ее цифровое представление.

Число отличных от нуля уровней одной ветви рассматриваемой характеристики

lii = 2 .-l=gr /6 (7.24)

где 1 - число двоичных разрядов преобразователя (без учета знакового разряда); gfax - значение входной величины, которому соответствует максимальное возможное двоичное число на выходе пресбра-зователя.

При правильном построении преобразователя величина grax должна совпадать с максимальным возможным значением входной величины.

Если АЦП входит в контур замкнутой системы радиоавтоматики, то высокое качество ее работы может быть достигнуто только при достаточно малой величине Sj. В этом случае статическую характеристику АЦП можно линеаризовать, а погрешности от квантования по уровню! учесть добавлением во входной сигнал шума квантования-G-i, не коррелированного с сигналом. Соответствующая эквивалентная схема показана на рис. 7.4, где б - коэффициент передачи линеаризованного АЦП.