Выражению (7.3) соответствует запись дискретной передаточной функции как дробно-рациональной функции от z~\

Я(г) = °+ +--- + - . (7.4)

При этом особенно наглядна ее взаимно однозначная связь с разностным уравнением импульсного фильтра (7.1) через коэффициенты а,-и bj. Разделив числитель и знаменатель (7.4) на в старшей степени, можно получить дробно-рациональную функцию аргумента 2 . Заметим, что соотношение порядков числителя и знаменателя дискретной передаточной функции (7.4), записанной относительно г , может быть произвольным и не влияет на возможность физической реализации импульсного фильтра. Это видно из разностного уравнения (7.1), в которое ни при каких порядках величин / и /п не входят будущие значения входной и выходной величин.

При нахождении дискретной передаточной функции за основу обычно принимаются временные характеристики дискретной системы. Важной временной характеристикой импульсного фильтра является решетчатая весовая функция h [п], определяемая как реакция импульсного фильтра на единичную импульсную решетчатую функцию 8о[п], поданную на его вход при нулевых начальных услови;1х.

В соответствии с этим определением при g [п]-8о[п] на выходе получаем у [n]=h [п]. Тогда выражение (7.3) конкретизируется в виде Z{h[n]\-=H{z) Z{8o[n]\. Поскольку Z{8o[[n]} = l, то

Hiz) = Z{h[n]}.

Таким образом, дискретная передаточная функция импульсного фильтра есть г-преобразование его решетчатой весовой функции. Следовательно, правая часть выражения Y{z)=H{z)G{z) является произведением изображений решетчатых функций h [п] я g [п], в соответствии со свойством 2-преобразования равным изображению их свертки. Поэтому при переходе к оригиналу получим для выходной решетчатой функции

y[n]=Xh[v]g[n-v]. (7.5)

Частотные характеристики импульсных фильтров. Пусть выходной сигнал импульсного фильтра является решетчатой функцией синусоидального вида:

g[n] = asmianT + ), (7.6)

где а, ф и со - амплитуда, начальная фаза и частота; Т - период дискретности.

При анализе удобно использовать ее символическую запись как последовательности комплексных чисел:

g [п] = aei ( г+ф) QQiQJanT = ае , (7.7)

мнимая составляющая которых совпадает с (7.6). Здесь а=ае - комплексная амплитуда.

Зная решетчатую весовую функцию импульсного фильтра h [п], найдем его реакцию у [п] на рассматриваемый сигнал. Для этого, используя формулу свертки (7.5) и выражение (7.7), запишем

00 00 00

2 h[v]g[n-v]= 2H e - = ae> 2[v]e-.

(7.8)

Введем в рассмотрение комплексную функцию

Я(е/-0= 2[v]e---= 2[v]г-vf , = Я(2)U;a,г, (7.9)

которую запишем в виде

Я(е/0 = Ие*(). (7.10)

Здесь А (сй) = 1Я(е) и rl5(cu)=arg Я(е) - вещественные функции, являющиеся модулем и аргументом функции Н(е).

С учетом (7.9) и (7.10) представим (7.8) в аналогичном (7.7) виде:

у [п] = Л(сй) ad [ипг+ф{(о)] = д ((д) [ф+ф ((о)]е/ипг

= be [ф+Ф:{и)]е/й Г = Ье< , (7- И)

где 6=Л(сй) а--амплитуда; 6=6е[ч+* С Я- комплексная амплитуда функции у [п].

Выделив мнимую составляющую выражения (7.11), получим

у[п] = Ь sin [сопТ -f ф + г; (со)].

Таким образом, искомый выходной сигнал линейного импульсного фильтра представляет собой, как и входной сигнал, гармоническую решетчатую функцию.

Функция Я(е ) равна отношению комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. Поэтому по аналогии с частотной передаточной функцией непрерывной системы она называется частотной передаточной функцией импульсного фильтра. Графики ее модуля А((х))=Ь/а и аргумента ф(сй) называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вводятся и другие частотные характеристики импульсного фильтра, например логарифмические.

Как видно из (7.9), частотная передаточная функция получается из дискретной передаточной функции Я (г) посредством подстановки

При рассмотрении частотной передаточной функции как функции круговой частоты со выясняется, что вследствие периодичности комплексного аргумента d<= cos coT-f / sin соТ она тоже периодическая и ее значения повторяются с периодом, равны.м круговой частоте квантования 2л/Т. Такую же периодичность имеют все частотные характеристики импульсного фильтра. Физически это объясняется тем, что гармонические сигналы на частотах со и сй±2л; 7, /= 1, 2, . . . невозможно различить, наблюдая их лишь в дискретные мо.менты времени

t=-nT. Поэтому импульсный фильтр реагирует на такие сигналы совершенно одинаково.

Периодичность частотных характеристик импульсного фильтра, рассматриваемых в функции частоты , делает их построение неудобным. Поэтому часто применяются частотная передаточная функция и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочастоты. Переход к псевдочастоте делается на основе ау-преобразо-вания.

Введем комплексную величину w как билинейное преобразование комплексной величины z:

z+y

Возможно и обратное преобразование

(7.12)

z==\+. (7.13)

Сделав в (7.12) подстановку г = е, получим

где A=tg со Т/2 представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Соотношение и; =/Я по форме совпадает с используемой для непрерывных систем записью р=/со.

Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту

X = ±.l=ig., (7.15)

При выполнении условия соГ<:2, когда tg со Г/2 л; сй Г/2, она практически совпадает с круговой частотой со, т. е. Jio). Это облегчает исследование дискретных систем. Кроме того, важно, что при изменении частоты в пределах -я/Г со я/Г псевдочастота пробегает все значения от -гоо до оо. Поэтому при переходе к псевдочастоте наиболее интересный интервал частот, где полностью определяется форма частотных характеристик, растягивается до бесконечной длины, а периодичность частотных характеристик пропадает.

С использованием псевдочастоты частотную передаточную функцию импульсного фильтра с учетом (7.13)-(7.15) записывают в виде

я.,А)=я(1±г)=я(1± Щ). а.щ

Она обычно является дрсбно-рациональной функцией.

Характеристики решетчатых случайных процессов. Решетчатую функцию / [п] называют решетчатым случайным процессом, если ее значения в каждый момент дискретного времени являются случайными величинами. Каждая из этих случайных величин характеризуется одномерным, а их совокупность - многомерным законами распре-