Для некоторой решетчатой функции / [п], определенной при п>0, 2-преобразование записывают через дискретное преобразование Лапласа

С использованием аргумента г=еР:

Z{f[n\\ = F{z)if[n]z- .

Для смещенных решетчатых функций вводят модифицированное 2-преобразование:

ZeU[ l} = Z{/[n, г]\ = Р{г, 8)=2/[п, г] г-.

2-преобразование можно применить также к изображению исходной непрерывной функции по Лапласу:

FAp) = ]f{t)e-P4t. о

При записи Z{Fji{p)}=F (г) подразумевают, что фактически г-преоб-разование взято от решетчатой функции f [п], однозначно связанной с изображением F (р).

Таблица 7.1 Изображения решетчатых функций

z-преобразования некоторых решетчатых функций, а также исходные непрерывные функции и их изображения по Лапласу приведены в табл. 7.1. Там введена единичная импульсная решетчатая функция

ifi г 1-/ Р Al l-j о при п #0,

играющая при исследовании дискретных систем такую же роль, как б-функция при исследовании непрерывных систем.

Более подробные таблицы z-преобразований имеются, например, в [2, 4, 17]. Там же описаны его свойства, некоторые из которых без доказательства приведены далее.

1. Свойство линейности:

z\l,c,f,[n]\=J:,c,F,{z).

U = l ) < = 1

2. Теорема запаздывания:

Z {/[ -m]} = z- F (г).

3. Начальное значение оригинала:

f[0] = \mF(z).

4. Конечное значение оригинала:

lim / [п] = Ит -[F (г).

/!-> 2-*-!

5. Изображение свертки двух решетчатых функций:

z{i/iM/J -v]} = F, {z)F, (г).

Обратный переход от изображения F{z) к оригиналу / [п] в символической форме записывают как обратное z-преобразование: / [п] = =Z~{F (z)}. Эта задача не представляет трудностей, если изображение является табличным. При более сложном изображении оно обычно заменяется суммой дробей первой степени. Например, если изображение есть отношение двух многочленов

~А (Z) ~ Л (Z)

причем степень числителя не выше степени знаменателя, а корни знаменателя простые, то его можно представить в виде суммы [4]

где Л (г) - производная полинома А (г) по z; Zj (t = l, 2, . . . j Z) - корни знаменателя.

Отсюда, воспользовавшись табл. 7.1, получим

Для нахождения оригинала часто применяют также разложение изображения в ряд Лорана

F(2) = c + ci2-l + c,z-2+ ... +cft2-*+ ...

Так как по определению 2-преобразования

f(2) = /[0] + /[l]2- + /[2]2-+...+/[fe]2--...,

то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значениями оригинала, т.е. /[0]=со, /[l]=ci, / [2]=с2 и т.д. Наиболее удобным приемом разложения дробно-рациональных функций в ряд Лорана является деление числителя на знаменатель.

Дискретные передаточные функции. Рассмотрим разностное уравнение импульсного фильтра в форме (7.1): ; т

i=0 /=0

где g [л] и у {п\ - входной и выходной сигналы.

Используя свойство линейности 2-преобразования, перейдем к изображениям

2:a,Z{t/[n-0}=Sb,Z{er[ -/]l

1=0 /=0

или, на основании теоремы запаздывания,

F(2) 2 .-2-=G(2) 2Ьуг-/. (7.2)

Здесь за знаки суммирования вынесены изображения Y(7)=Ъ\у\п\\ и G(z)-Z{g\n\\, не зависящие от переменных i и /.

Из (7.2) получим для изображения искомой решетчатой функции выражение

Y(z) = -G{z) = H{z)G{z), (7.3)

( = 0

где введена дискретная передаточная функция импульсного фильтра H{z). Она определяется как отношение 2-преобразования выходного сигнала к 2-преобразованию входного сигнала.

Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах ту же роль, что и обычная передаточная функция в непрерывных системах, которую также определяют как отношение изображений, но по Лапласу.