Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Разомкнутые системы радиоавтоматики видно из (6.52), Р {to)=x{to)x{to) соответствует матрице дисперсий компонент измеряемого процесса x{t). Совокупность уравнений (6.50), (6.51) и (6.53) определяет структуру и характеристики фильтра Калмана. Структурная схема многомерного фильтра Калмана, соответствующая уравнению (6.50), приведена на рис. 6.4. rfti Affi <id Рнс. 6.4 Пример 6.3. Рассмотрим синтез одномерного фильтра Калмана. Пусть задающее воздействие синтезируемой системы g (/) -стационарный случайный процесс с дисперсией D и спектральной плотностью где Зо=20/щ; Шо-круговая частота, определяющая ширину спектра (6.54); Т= 1/соо- Задающее воздействие g (t) поступает на вход системы в аддитивной смеси с помехой V (t), представляющей собой белый шум со спектральной плотностью 5j, (ш) = ;у = const и корреляционной функцией (т) = Л6 (т), т. е. входное воздействие системы r(t)=g(t) + v(t). (б.,55) Найдем уравнение состояния для гадающего воздействия со спектральной плотностью (6.54). Разложив (6.54) не ксмплексно-сспряженные множители, найдем передаточную функцию (уш) формирующего фильтра для задающего воздействия g (/): Тг(р)=1/(1 + 7р), откуда или g(t) + g{i)/T=u:{t)/T. (6.56) В рассматриваемом случае входное воздействие х (t) имеет лишь одну составляющую x(t)=g(i) и уравнение состояния в соответствии с (6.56) имеет вид dx/dt = -x(i)/T-\-u(t)/T, (6.57) где и (О -одномерный порождающий белый шум со спектральной плотностью Sq и корреляционной функцией /Сии (т) = 5об (т). Сопоставляя (6.56) и (6.55) с (6.46) и (6.48) и учитывая (6.47) и (6.49), имеем для одномерной задачи A4i) = -]/T, В {i} = ]/T, Q(t)==So, R{t) = N, С(/) = ). Критерий оптимальности в stom случае имеет вид / = mine = min {g(t) - у {Щ. Теперь можно написать уравнения фильтра Калмана для рассматриваемой задачи: уравнение оценки на основании (6.50) dyjdt = -ly(t) + K{t)lr{t)-y(t)], выражение для коэффициента передачи из (6.51) дисперсионное уравнение из (6.53) (6.58) (6.59) (6.60) Для одномерной задачи при стационарном входном воздействии г (/) дисперсионное уравнение является нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Решив дисперсионное уравнение (6.60), найдем дисперсию ошибки одномерного фильтра Калмана и в соответствии с (6.59) определим коэффициент передачи К (t) этого фильтра, фигурирую- r(tj Рис. 6.5 щий в уравнении оценки (6.58). При изменении коэффициента передачи К (О фильтра Калмана в соответствии с (6.59) выходная величина фильтра у {t) будет представлять со-бой оптимальную оценку задающего воздействия g{t), т. е. оценку с минимальной среднеквадратичной ошибкой. Структурная схема одномерного .фильтра Калмана, соответствующая (6.58), изображена на рис. 6.5. Рассмотрим характеристики установившегося режима одномерного фильтра Калмана. Общие характеристики, соответствующие конечному времени наблюдения, приведены, например, в [2]. В установившемся режиме, т. е. при t-> оо, дисперсия ошибки фильтра (O/f-юо - величина постоянная, не зависящая от и, следовательно, Р () = О при t->-оо. Тогда, обозначив D = Р {со), из (6,60) получаем o=--d,-Id+5 откуда при л/ So- В установившемся [режиме при ратичной ошибки] )ежиме при V D /2 N <So относительное значение среднеквад- Д61) Как следует i;(6.61), относительная среднеквадратичная ошибка оптимального одномерного фильтра при помехе типа белого шума зависит только от относительной интенсивности помехи, характеризуемой отношением спектральной плотности помехи N к спектральной плотности So порождающего белого шума. В установившемся режиме коэффициент передачи К (t) фильтра Калмана имеет постоянное значение Koo = Kioo)=DjN {YH-SJN - 1)/T, и тогда уравнение оценки (6.58) является уравнением с постоянными коэффициентами у(1) = ~у(1)-+К [г {t)-y {t)]. yit)+[!<+)yit) = K r(t), соответствующим апериодическому звену первого порядка. § 6.3. понятие о нелинейной фильтрации Задача нелинейной фильтрации. Рассмотренные в § 6.1 и 6.2 методы линейной оптимальной фильтрации позволяют синтезировать оптимальную систему лишь в том случае, когда задающее воздействие и помеха являются нормальными (гауссовыми) случайными процессами с известными корреляционными функциями (или спектральными плотностями). Если же входные воздействия системы неяв-ляются нормальными процессами, то оптимальную систему следует искать в более широком классе-классе нелинейных систем. Методы синтеза нелинейных оптимальных систем объединены под названием методов нелинейной оптимальной фильтрации. При нелинейной фильтрации входное напряжение вх (О синтезируемой системы записывают в виде Ивх(0 = с( )-Ь т(0. (6.62) где с ( g)-полезный сигнал, содержащий информацию об измеряемой величине g (t), которая является модулирующей функцией некотопого параметра сигнала и; (О - аддитивная помеха типа белого шума. Задачей нелинейной фильтрации является нахождение такого нелинейного оператора обработки напряжения вх (О- который обеспечивает [получение оптимальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценки ы (t) измеряемой величины g(t). В теории оптимальной нелинейной фильтрации основными являются два метода: метод Р. Л. Стратоновича и метод И. А. Большакова и В. Г. Репина [13, 14]. Метод р. Л. Стратоновича основан на описании измеряемой величины g (t) как случайной функции времени с помощью марковского процесса [13]. При этом, как и в методе пространства состояний, функция g (t) является одной; из составляющих -мерного вектора состояний х (t) = [xi (t), xit), .... д: ()], отдельные компоненты которого описываются нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями первого порядка вида dx;/dt = fi{x) + Ui{t), i=l7, где fi{x)- детерминированные нелинейные функции п переменных Xi(t), дгг (0> x {t); И/(О -порождающие белые шумы с известными корреляционными функциями. Соответственно уравнение язОдюдения на основанн (6.62) записывают в виде вх(0 = с(. x) + u(t). При известной априорной плотности вероятности вектора Х(Г) определяют оптимальный нелинейный оператор обработки сигнала вх (0. обеспечивающий оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценк у (t) измеряемой величины g(). . a/U Когда измеряемая величина и помеха являются нормальными случайными процессами, оптимальный оператор приводится к системе упавне-ний фильтра Калмана. Таким образом, метод Калмана является частным случаем более общего Рис. 6.6 метода оптимальной нелинейной фильтрации. Метод И. А. Большакова и В. Г. Репина основан на представлении структурной схемы системы радиоавтоматики в виде последовательного соединения безынерционного нелинейного дискриминатора с линейной дискриминационной характеристикой и линейного фильтра с передаточной функцией woip) (рис 6.6). klp)
|