видно из (6.52), Р {to)=x{to)x{to) соответствует матрице дисперсий компонент измеряемого процесса x{t).

Совокупность уравнений (6.50), (6.51) и (6.53) определяет структуру и характеристики фильтра Калмана.

Структурная схема многомерного фильтра Калмана, соответствующая уравнению (6.50), приведена на рис. 6.4.

rfti

Affi <id

Рнс. 6.4

Пример 6.3. Рассмотрим синтез одномерного фильтра Калмана. Пусть задающее воздействие синтезируемой системы g (/) -стационарный случайный процесс с дисперсией D и спектральной плотностью

где Зо=20/щ; Шо-круговая частота, определяющая ширину спектра (6.54); Т= 1/соо-

Задающее воздействие g (t) поступает на вход системы в аддитивной смеси с помехой V (t), представляющей собой белый шум со спектральной плотностью 5j, (ш) = ;у = const и корреляционной функцией (т) = Л6 (т), т. е. входное воздействие системы

r(t)=g(t) + v(t). (б.,55)

Найдем уравнение состояния для гадающего воздействия со спектральной плотностью (6.54). Разложив (6.54) не ксмплексно-сспряженные множители, найдем передаточную функцию (уш) формирующего фильтра для задающего воздействия g (/):

Тг(р)=1/(1 + 7р),

откуда или

g(t) + g{i)/T=u:{t)/T. (6.56)

В рассматриваемом случае входное воздействие х (t) имеет лишь одну составляющую x(t)=g(i) и уравнение состояния в соответствии с (6.56) имеет вид

dx/dt = -x(i)/T-\-u(t)/T, (6.57)

где и (О -одномерный порождающий белый шум со спектральной плотностью Sq и корреляционной функцией /Сии (т) = 5об (т).

Сопоставляя (6.56) и (6.55) с (6.46) и (6.48) и учитывая (6.47) и (6.49), имеем для одномерной задачи

A4i) = -]/T, В {i} = ]/T, Q(t)==So, R{t) = N, С(/) = ).

Критерий оптимальности в stom случае имеет вид

/ = mine = min {g(t) - у {Щ.

Теперь можно написать уравнения фильтра Калмана для рассматриваемой задачи:

уравнение оценки на основании (6.50)

dyjdt = -ly(t) + K{t)lr{t)-y(t)], выражение для коэффициента передачи из (6.51)

дисперсионное уравнение из (6.53)

(6.58)

(6.59)

(6.60)

Для одномерной задачи при стационарном входном воздействии г (/) дисперсионное уравнение является нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Решив дисперсионное уравнение (6.60), найдем дисперсию ошибки одномерного фильтра Калмана и в соответствии с (6.59) определим коэффициент передачи К (t) этого фильтра, фигурирую-

r(tj

Рис. 6.5

щий в уравнении оценки (6.58).

При изменении коэффициента передачи К (О фильтра Калмана в соответствии с (6.59) выходная величина фильтра у {t) будет представлять со-бой оптимальную оценку задающего воздействия g{t), т. е. оценку с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Структурная схема одномерного .фильтра Калмана, соответствующая (6.58), изображена на рис. 6.5.

Рассмотрим характеристики установившегося режима одномерного фильтра Калмана. Общие характеристики, соответствующие конечному времени наблюдения, приведены, например, в [2].

В установившемся режиме, т. е. при t-> оо, дисперсия ошибки фильтра (O/f-юо - величина постоянная, не зависящая от и, следовательно, Р () = О при t->-оо.

Тогда, обозначив D = Р {со), из (6,60) получаем

o=--d,-Id+5

откуда

при л/ So-

В установившемся [режиме при ратичной ошибки]

)ежиме при

V D /2

N <So относительное значение среднеквад-

Д61)

Как следует i;(6.61), относительная среднеквадратичная ошибка оптимального одномерного фильтра при помехе типа белого шума зависит только от относительной интенсивности помехи, характеризуемой отношением спектральной плотности помехи N к спектральной плотности So порождающего белого шума.

В установившемся режиме коэффициент передачи К (t) фильтра Калмана имеет постоянное значение

Koo = Kioo)=DjN {YH-SJN - 1)/T, и тогда уравнение оценки (6.58) является уравнением с постоянными коэффициентами

у(1) = ~у(1)-+К [г {t)-y {t)].

yit)+[!<+)yit) = K r(t), соответствующим апериодическому звену первого порядка.

§ 6.3. понятие о нелинейной фильтрации

Задача нелинейной фильтрации. Рассмотренные в § 6.1 и 6.2 методы линейной оптимальной фильтрации позволяют синтезировать оптимальную систему лишь в том случае, когда задающее воздействие и помеха являются нормальными (гауссовыми) случайными процессами с известными корреляционными функциями (или спектральными плотностями). Если же входные воздействия системы неяв-ляются нормальными процессами, то оптимальную систему следует искать в более широком классе-классе нелинейных систем. Методы синтеза нелинейных оптимальных систем объединены под названием методов нелинейной оптимальной фильтрации.

При нелинейной фильтрации входное напряжение вх (О синтезируемой системы записывают в виде

Ивх(0 = с( )-Ь т(0. (6.62)

где с ( g)-полезный сигнал, содержащий информацию об измеряемой величине g (t), которая является модулирующей функцией некотопого параметра сигнала и; (О - аддитивная помеха типа белого шума.

Задачей нелинейной фильтрации является нахождение такого нелинейного оператора обработки напряжения вх (О- который обеспечивает [получение оптимальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценки ы (t) измеряемой величины g(t).

В теории оптимальной нелинейной фильтрации основными являются два метода: метод Р. Л. Стратоновича и метод И. А. Большакова и В. Г. Репина [13, 14].

Метод р. Л. Стратоновича основан на описании измеряемой величины g (t) как случайной функции времени с помощью марковского процесса [13]. При этом, как и в методе пространства состояний, функция g (t) является одной; из составляющих -мерного вектора состояний х (t) = [xi (t), xit), .... д: ()], отдельные компоненты которого описываются нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями первого порядка вида

dx;/dt = fi{x) + Ui{t), i=l7,

где fi{x)- детерминированные нелинейные функции п переменных Xi(t), дгг (0> x {t); И/(О -порождающие белые шумы с известными корреляционными функциями.

Соответственно уравнение язОдюдения на основанн (6.62) записывают в виде вх(0 = с(. x) + u(t).

При известной априорной плотности вероятности вектора Х(Г) определяют оптимальный нелинейный оператор обработки сигнала вх (0. обеспечивающий оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценк у (t) измеряемой величины g(). . a/U

Когда измеряемая величина и помеха являются нормальными случайными процессами, оптимальный оператор приводится к системе упавне-ний фильтра Калмана.

Таким образом, метод Калмана является частным случаем более общего Рис. 6.6

метода оптимальной нелинейной фильтрации.

Метод И. А. Большакова и В. Г. Репина основан на представлении структурной схемы системы радиоавтоматики в виде последовательного соединения безынерционного нелинейного дискриминатора с линейной дискриминационной характеристикой и линейного фильтра с передаточной функцией woip) (рис 6.6).

klp)