Таким образом, возникает задача оптимального синтеза при наличии в составе проектируемой системы заданной неизменяемой части. В этом случае оптимизация структуры системы осуществляется посредством корректирующих цепей.

Рассмотрим использование для оптимизации структуры системы последовательной корректирующей цепи.

Если Wip) - передаточная функция неизменяемой части системы; hip) - передаточная функция последовательной корректирующей цепи, то передаточная функция разомкнутого контура этой системы W(p) = W(p)Wk{p). Потребовав, чтобы Г (р) = (р), где W, Ap) -передаточная функция системы, полученная в результате оптимального синтеза, найдем передаточную функцию последовательной корректирующей цепи:

1.(Р)=опх(Р)/[1 (Р)]. (6.35)

чем и решается задача оптимального синтеза при наличии неизменяемой части системы.

Заметим, что передаточная функция W(p), определяемая соотношением (6.35), реализуется, как правило, лишь приблизительно, так как (6.35) приводит к физически нереализуемой динамической системе.

Пример 6.2. Пусть передаточная функция неизменяемой части проектируемой системы АСН определяется выражением (2.12), а синтезированная оптимальная передаточная функция - выражением (6.33):

Тогда в соответствии с (6.35) получаем

К (1 + ТэР)(1-Ь7лР)(1 + )

йк (Р) = -

что соответствует физически нереализуемой динамической системе, поскольку степень числителя найденной передаточной функции выше степени ее знаменателя. Реализуемая передаточная функция корректирующей цепи (р) имеет вид , . , , , (\+хр){ + Тр){\ + Тур)

где Тх и -достаточно малые постоянные времени.

Оптимальная весовая обработка сигналов в радиотехнических системах. Для борьбы с помехами в радиотехнических системах часто используется прием сигналов на разнесенные антенны. При этом для выделения полезного сигнала из помех применяется метод оптимальной весовой обработки принятых сигналов, заключающийся в следующем.

Пусть прием осуществляется на п приемных антенн. На вход каждой антенны поступает сигнал fiit)-Si(t)+Vi(t), г = 1, п, представляющий собой аддитивную смесь полезного сигнала Si{t) и помехи Vi(t), как показано на рис. 6.2. Совокупности входных сигналов, полезных сигналов и помех запишем в виде матриц-столбцов размера (nXl): /=[/i, /2, . . . ,[пУ, s=[si, s2, . . . , SnV, v=lv и . . . , Vn), причем f=s+v.

Задача оптимальной фильтрации в данном случае заключается в получении наилучшей по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценки величины g, являющейся результатом некоторого заданного линейного преобразования А совокупности полезных сигналов, т. е. g=As, гдеЛ = [а1, 2, - , йп.] - заданная

Sz(t) .

4>ш

Salt]

О

fnit)

матрица-столбец коэффициентов преобразования.

В качестве оптимальной оценки у величины g SAs при весовой обработке принятых сигналов исполь- зуется линейная комбина-

ция этих сигналов вида

y=w,h==Wf. Здесь

, k=i

Рис. 6.2 W=[w w . . . , WnV -

матрица-столбец весовых коэффициентов ш выбранных из условия минимума среднеквадратичной ошибки оценки величины g.

Найдем уравнение для определения оптимальной матрицы весовых коэффициентов W.

Дисперсия ошибки оценки определяется выражением

WR,fW-2WR A -AR A,

где Rff=ff=lfifk при i, k=l, п - автокорреляционная матрица входного сигнала размера пХп; Rfsfs=[fiSu] при i, k=\, п - взаимная корреляционная матрица входного и полезного сигналов размера ПХп; Rssss=\SiSu\ при i, k=\, п - автокорреляционная матрица полезного сигнала размера пХп.

Процедура минимизации дисперсии ошибки Dg как функции весовых коэффициентов приводит к следующему уравнению для весовой матрицы W, представляющему собой уравнение Винера - Хопфа для задачи оптимальной весовой обработки сигналов:

R A-Rj,W = Q,

из которого находим оптимальную весовую матрицу W=RjsRffA, обеспечивающую- при известных корреляционных матрицах Rff и Rfs минимум среднеквадратичной ошибки оценки величины g.

§ 6.2. ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА

Общие замечания. Фильтры Винера обеспечивают минимум средней квадратичной ошибки системы лишь при бесконечном времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме, и при условии стационарности случайных процессов, соответствующих задающему воздействию н помехе.

Иногда требуется минимизировать ошибку системы радиоавтоматики при любом конечном времени наблюдения, т. е. с учетом переходных процессов, а также при нестационарных случайных воздействиях на входе системы.

В этом случае эффективным методом оптимального синтеза является метод, разработанный Калманом и Бьюси [2], сводящий задачу нахождения оптимальной оценки y{t) входного воздействия g{t) к решению некоторого дифференциального уравнения. Этот метод успешно реализуется при использовании вычислительных машин, в особенности цифровых. Современное развитие микропроцессорной техники привело к широкому использованию этого метода для оптимизации бортовых систем обработки информации летательных аппаратов, морских судов и других объектов.

Системы, оптимизируемые указанным методом, носят название фильтров Калмана.

Уравнения состояния, В основе теории оптимальной фильтрации Калмана лежит понятие пространства состояний (см. гл. ). Поэтому метод Калмана называют также методом пространства состояний.

В отличие от метода Винера случайное задающее воздействие g{t) и помеха v{t) в методе Калмана характеризуются не спектральными плотностями Sg{(i)) и S{a), а уравнениями состояния. Ограничиваясь случаем, когда помеха v{t) является белым шумом со спектральной плотностью Sj,(u))=iV=const, покажем, как может быть получено уравнение состояния для задающего воздействия при заданной спектральной плотности этого воздействия.

Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид

) = а 2 + а 1Ш -°+ ... + ai + 1

Произведя факторизацию спектральной плотности (6.36), найдем передаточную функцию Yg(< ) формирующего фильтра для задающего воздействия.

Пусть Sg{a)=Wg(j(o)Wg{-j(i)), тогда на основании (6.36) ¥,(/( ) имеет вид

Здесь коэффициенты уь. =1. п, однозначно определяются коэффициентами ai, i=l, п, из (6.36).

Обозначим через u{t) порождающий белый шум, из которого фильтр с передаточной функцией (6.37) формирует случайное задающее воздействие g{t) со спектральной плотностью (6.36). Тогда из (6.37) при подстановке ja- р didt, разделив числитель и знаменатель на 7п, получим

g it) = Ч, (р) и it) = , +, . .-1..+а.р + а (0.