непреобразуемый процесс; r{t)=X2{t) - процесс, преобразуемый отбеливающим фильтром с передаточной функцией Ф {jai) = l/W(jai), соответствующей передаточной функции Wijoi) в (6.16); n{t)iii{t)- белый шум на выходе отбеливающего фильтра. Тогда в соответствии с (6.17) имеем

S,n т = Ф (- /со) (/со) = . (6.23)

Подставляя (6.23) в (6.22), с учетом (3.19) получаем выражение, определяющее оптимальную передаточную функцию Н. (/со) системы при входном воздействии r(t)=g{t)+v{t) с заданными спектральными плотностями Sg(co), S (co) и Sg (/со):

опЛ/со) = 2е-/- I eZ-dcod/. (6.24)

о - со

Если задающее воздействие §(/) и помеха v{t) статистически независимы, то Sgj,(/co)=0 и тогда

о -ю

Определить оптимальную передаточную функцию Нпт (/со) в соответствии с (6.25) довольно просто.

Если в (6.25), как следует из предыдущих рассуждений, нижний предел в перво.м интеграле положить равным -оо, то мы снова получим передаточную функцию (6.15) физически нереализуемой системы. Имея это в виду, представим (6.25) в виде

- X - СО

- сс

5. (а)

составляющая функции Sg(co)/ T(-/со), обусловливающая физическую нереализуемость системы с передаточной функцией (6.14). Чтобы выделить из функции Sg((o)/W (-joi) ф:1зически реализуемую часть, поступим следующим образОхМ. Разложим эту функцию на прэстейшне

дроби, т. е. представим в виде

где Р (/со) - некоторый полином.

Первая сумма объединяет дроби, полюсы которых лежат в левой полуплоскости, а вторая сумма - дроби, полюсы которых лежат в правой полуплоскости. Именно вторая сумма и определяет функцию

Fh(/ ).

Таким образом, оптимальная передаточная функция физически реализуемой системы

Яспт(/ )=та/ + (/ )} (6.27)

Запишем это выражение в виде

on.(/co) = [J, (6.28)

где оператор 1-J+ означает процедуру разложения на элементарные дроби функции, заключенной в квадратных скобках, и последующего отбрасывания дробей, полюсы которых лежат в правой полуплоскости.

Итак, процедура определения оптимальной передаточной функции физически реализуемой системы состоит из следующих этапов:

1) факторизация спектральной плотности 5(0)), т. е. представление ее в виде

5,(0))= (/со) ¥(-/ );

2) разложение функции Sg(co)/*F(-/со) на элементарные дроби и отбрасывание дробей с полюсами в правой полуплоскости;

3) запись явного выражения для оптимальной передаточной функции в виде (6.27).

В случае, когда помеха v{t) представляет собой белый шум со спектральной плотностью Sj,(co)=A/=const, процедура нахождения оптимальной передаточной функции еще более упрощается.

Выражение для оптимальной передаточной функции, как показано, например, в [21, при этом имеет вид

Яо Л/ )=1- Л/[ (/ )] (6.29)

Соответственно передаточная функция разомкнутого контура оптимальной системы

W ,{jw) = WiJw)/VN-\. (6.30)

Дисперсия ошибки оптимальной системы определяется выражением (6.8) при подстановке в него Я (/со)=Яопт Ос).

Пример 6.1. Рассмотрим синтез оптимальной структуры системы АСН. Псть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид

И )=МТТ№)- -

Такая спектральная плотность соответствует случайным изменениям текущих координат маневрирующего объекта. Пусть для определенности g () = а () -азимут объекта. Тогда в (6.31) D-дисперсия угловой скорости объекта в азимутальной плоскости; Т-среднее значение интервала времени, в течение которого эта скорость остается постоянной.

Помеха у (О -флуктуации направления прихода отраженных от объекта радиоимпульсов - в пределах полосы пропускания системы АСН имеет постоянную спектральную плотность N п ее можно рассматривать как белый шум. Взаимная корреляция между задающим воздействием и помехой отсутствует. Тогда

( ) = S, (ш) + ( ) = + N =

опт С +/mTi) (1 -+/сат2) (1 -/caTi) (1 -jax /ш(1+/иГ)(-/и)(1-/иГ)

TiT2=/yVr/(2D), Ti-4-Та = Vn/{2DT) + 2 /7/Г/(20). Выделим множитель

в соответствии с (6.29) и (6.30) находим где

х = Т(Уа2 + 2а-а), а =n/{2DT), К=У20ТШ.

При этом дисперсия ошибки оптимальной системы, найденная на основании (6.8) пр/ подстановке найденной передаточной функции (6.32):

D.mm = [ll + /8D7-l]. (6.34)

Для принятых в гл. 3 значений параметров входных сигналов УУ = 55х X 10- град-с, D=\ град.с-, 7~5с из (6.34) получаем

Р.тт-7,04-10-град, oem\ti=VDem\n = 1-58 уГЛ. МИН.

Соответствующая ошибка, полученная в гл. 3 в задаче оптимизации параметров системы АСН, составила а 1 = 2,5 угл. мин.

Таким образом, в результате оптимального синтеза получена передаточная функция системы АСН, соответствую дая вполне реализуемой структуре-последовательному соединению двух типовых динамических звеньев-изодромного и апериодического первого порядка.

Оптимальный синтез при наличии неизменяемой части системы.

При проектировании систем радиоавтоматики часто возникает такая ситуация, когда оптимальный синтез проводится при условии, что система должна содержать функциональные элементы с заданными неизменяемыми характеристиками. Например, при проектировании системы АСН выбор исполнительного двигателя с редуктором, усилителя и дискриминатора определяется требованиями, не связанными с задачей оптимального синтеза, и характеристики этих устройств на стадии оптимального синтеза системы являются заданными.