передаточная функция замкнутой автоматической системы

\ 10 к=о у

Как следует из (1.9), Н(р) представляет собой отношение полиномов символической переменной р, т. е. является дробно-рациональной функцией этой переменной.

Полное описание процессов в замкнутой автоматической системе, т.е. описание изменений во времени управляемой величины y{t} при заданном входном воздействии g(t), дается общим решением уравнения (1.7). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение y{t) уравнения (1.7) представляет собой сумму общего решения ус{() однородного уравнения

(а /) + а,/; -Ч-... + fl ) г/, (О = О.

получаемого из (1.7) приравниванием нулю его правой части, и частного решения y{t) неоднородного уравнения (1.7), т. е.

у{() = ус{() + уЛП- (1.10)

Общее решение однородного уравнения y(t) определяет свободное движение автоматической системы, обусловленное начальньш рассогласованием системы в отсутствие внешнего воздействия. Частное решение г/в (О неоднородного уравнения определяет вынужденное движение автоматической системы, т. е. реакциюТсистемы на внешнее воздействие в отсутствие начального рассогласования.

Общее решение однородного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет вид

i/c(0=2C,eV, (1.11)

1 = 1

где п) - корни характеристического уравнения системы

D{p)=a,p + a,p -+...+a, = 0, (1.12)

соответствующего дифференциальному уравнению (1.7); С;-постоянные, определяемые начальными условиями.

Начальными условиями называют значения функции y{t) и п-1 ее первых производных в момент времени =0, т. е. п чисел у (О), (0), . . . , !/ ! (0), среди которых, по крайней мере, одно должно быть отличным от нуля, В противном случае все Cj=0 и свободное движение отсутствует. Это означает, что к моменту времени =0 система находилась в состоянии покоя.

Таким образом, общее решение у (t) однородного уравнения ищем

-при ненулевых начальных условиях. Уто решениехарактеризует процессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его название свободное движение ) и определяется начальными условиями.

Свободное движение нормально работающей автоматической системы с течением времени затухает, т. е. г/с(0~0 при t-oo.

Частное решение неоднородного уравнения y{t) ищем при нулевых начальных условиях в соответствии с методикой, излагаемой в ру-ководствах-по дифференциальным уравнениям. Оно однозначно определяется для каждого дифференциального уравнения внешним воздействием g (t) (отсюда название - вынужденное движение ) и характеризует реакцию автоматической системы на это воздействие.

Вынужденное, или установившееся, движение системы с той или иной степенью точности воспроизводит задающее воздействие как функцию времени, т. е.

ysit) = g{t)-e{t), (1.13)

где е (t) - установившаяся ошибка автоматической системы.

Системы, свободное движение которых с течением времени затухает, называют устойчивыми. Устойчивость - важнейшее свойство автоматической системы, которое должно быть обеспечено в процессе ороектирования и наладки системы. Неустойчивые системы не могут выполнять своих функций.

Как следует из (I.I1), система устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные корни характеристического уравнения (1.12) этой системы отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Действительно, каждому отрицательному вещественному корню соответствует в (1.11) слагаемое вида Се , где а>0, а каждой паре комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью - слагаемое вида Се Р sin (at+y), где Р>0. Каждое из этих слагаемых стремится к нулю при t-oo и, следовательно, yit)!t-f--O, т. е. система устойчива.

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение автоматической системы дает возможность исследовать важнейшее свойство системы - ее устойчивость.

Использование передаточных функций. Пусть дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы (1.3):

1{ = 0 1=0

Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения. Напомним что, если

L [л; (/)]== lx{t)e-P4t = X{p), (1.14)

где p=c-\-j(o - комплексная переменная, есть изображение по Лапласу функции времени x{t), то изображение по Лапласу k-й производной

этой функции при нулевых начальных условиях х(0)=х{0)=. . .= =x*-i(0)=0:

L[x*> (/)l = p*L [x(i)]p>X{p).

Применив преобразование (1.14) к левой и правой частям уравнения (1.3) и учитывая свойство линейности этого преобразования, получим

2 а. УХ,[р)= 2 bM-iPx,{p)

к=0 1=0

откуда

lip) 2 aN-kP = XdP) 2 V-zP.

k=Q 1=0

X. ip) = 4fg 1 (P) = (P) X, (P), (1.15>

= (1.16>

Здесь D(p)= 2 o-N-kP m{P)= 2 Im-iP - полиномы перемен-

A=0 1=0

ной p степеней iV и Л1 соответственно, W(/) называют передаточной функцией динамической системы. Она определяет отношение изображения по Лапласу отклика системы к изображению входного воздействия. Как следует из (1.16), передаточная функция линейной динамической системы является дробно-рациональной функцией переменной р.

Формально передаточная функция динамической системы при заданном дифференциальном уравнении этой системы определяется очень просто. Для этого достаточно записать уравнение (1.3) в операторной форме (1.4), а затем, рассматривая символ р как переменнук> преобразования Лапласа, заменить в (1.5) функции времени Xi(/) и 2 (О их изображениями Xi{p) и Xip), т.е. имея выражение Xa(0 = = W{p)Xi(t), сразу пишем Xiip) = W(р)Хг(р).

Подчеркнем, что в отличие от (1.5) выражение (1.15) не носит формального характера и является алгебраическим (а не символическим!) соотношением, определяющим изображение Xi{p) выходной величины системы через изображение Xi (р) входной величины. Таким образом, передаточная функция динамической системы определяет в области изображений реакцию этой системы на заданное входное воздействие.

После того как в соответствии с (1.15) при заданной функции Xi{t} нгйдено изображение Xip) отклика системы, функцию времени xlt) определяем путем обратного преобразования Лапласа, т. е.

с+/СЕ

x,it) = LlX,{p)]= f Х,{р)еРЫр,

гдеТ *- оператор, обратный оператору Лапласа L. 24