получаем

[Лопх {()] г 0]= [,г т= (t)] (6.13)

при статистической независимости g{t) и и().

Но преобразование Фурье весовой функции системы есть частотная передаточная функция этой системы [см. (1.38)], а преобразование Фурье корреляционнойфункции случайного процесса есть спектральная плотность этого процесса, т. е.

Г[Л ЛО] = опт(/). Г[/?Л0] = 5Л). r[/? (0] = S,(co)

и из (6.13) получаем

, /co)S,(co) = Sco), где (со) = Sm) + S (со),

откуда находим частотную передаточную функцию оптимальной системы

опЛ/со)= lfl . (6.14)

Напомним, что эта передаточная функция соответствует физически нереализуемой системе.

Подставляя (6.14) в (6.8), найдем дисперсию Dimin ошибки оптимальной физически нереализуемой системы:

\ } (сй) S (со)

- со

Практическое значение полученного результата заключается в том, что дисперсия ошибки Оы определяет потенциальную точность оптимальной системы при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи этой системы, т. е. теоретическую нижнюю границу дисперсии ошибки, определяемую лишь расчетным путем, но не достижимую ни для какой реальной системы.

Синтез оптимальной физически реализуемой системы. Синтез оптимальной системы с учетом условия физической реализуемости (1.22) - задача более сложная, чем синтез физически нереализуемой системы. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два вспомогательных вопроса: преобразование взаимных спектральных плотностей линейными системами и оптимизация структуры системы при входном воздействии r{t) типа белого шума. После решения этих вопросов определение оптимальной передаточной функции физически реализуемой системы осуществляется достаточнопросто с использованием приема приведения входного воздействия к белому шуму .

Рассмотрим преобразование спектральных плотностей. Пусть Xj{t) и xit) два стационарных и стационарно связанных случайных процесса с известной взаимно корреляционной функцией / (t)=a:i(02(+t)

и взаимной спектральной плотностью S/co) = { Нх,хг()~ х.

- со

Если процесс x-i{t) проходит через линейную динамическую систему

с передаточной функцией Wi{p), а xit) - через систему с передаточной функцией Wiip) (рис. 6.1), то взаимная спектральная плотность процессов yi{t) и y2{t) на выходе этих систем

(/ ) - 1 (/ ) 2 (- /со) S,, (/со). (6.16)

В частности, если один из процессов, например Xi{t), не подвергается линейному преобразованию, то, полагая yi{t)=Xi{t) и Wi(p)=l, получим

5. , (/со) = (- /со) S , (/со). (6.17)

Рассмотрим теперь синтез оптимальной системы при входном воздействии типа белого шума.

Пусть входное воздействие системы r{t)=g{t)+v{t)=n{t) - белый шум со спектральной плотностью S (co)=So=const и с корреляционной функцией /? (т)=5об(т), где б( ) -дельта-функция.

Обозначим через hn{t) и Я (р) соответственно весовую и передаточную функции системы, оптимальной при гипотетическом входном воздействии r{t) в виде белого шума. Тогда уравнение Винера - Хопфа (6.12) примет вид

0 J {(-ЦЬ {%)([%= Rg {t), откуда, исполь-

Рис. 6.1

зуя фильтрующее свойство б-функции (1.20а), получаем SJin{t)=Rgn{t) и, учитывая условие физической реализуемости системы (1.22), находим

Kit)-

-R.At) при >0,

при t < 0.

(6.18)

Таким образом, весовая функция системы, оптимальной при белом шуме на ее входе, с точностью до постоянного множителя S равна взаимной корреляционной функции задающего воздействия g(t) и полного входного сигнала типа белого myuar{t)=n{t). Оптимальную передаточную функцию Нп{р) можно найти путем прямого преобразования Фурье весовой функции. Учитывая, что hn{t)=0 при /<0, в соответствии с (6.18) имеем

Я (/со) = 5 /г (О е-/ dt = 5 (О е-/- dt =

(/со) е dco e~ d

2я .

е~ [ S (/co)e dcod

(6.19)

где S (/co)= (т) е- dt - взаимная спектральная плотность

- 00

процессов g{t) и n{t), предполагаемая известной. 182

Для решения уравнения Винера - Хопфа при произвольном входном воздействии г(), определяемом реальным задающим воздействием g{t) и реальной помехой v{t), воспользуемся методом приведения входного воздействия r{t) к белому шуму n{t).

Представим спектральную плотность 5(0)) входного воздействия r{t) в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций ¥(/0)) и ¥(--/й)):

5Л )=¥ (/ )¥(-/со). (6.20)

Такое представление спектральной плотности случайного процесса называют факторизацией спектра.

Гипотетическая динамическая система с передаточной функцией (/со), определяемой выражением (6.20), преобразует случайный процесс типа белого шума со спектральной плотностью So=const в процесс с заданной спектральной плотностью 5г(< ) и называется форми-руюш,им фильтром.

Пропустим входное воздействие через линейный фильтр с передаточной функцией

Ф(/Ъ) = 1/[¥(/со)]. (6.21)

На выходе этого фильтра получим процесс, спектральная плотность которого равна (см. гл. 3)

5 (со) = i Ф (/со) I (со) = (со)/ ¥ (/ш) I

т. е. получаем процесс в виде белого шума n{t).

Фильтр с передаточной функцией (6.21), где (/со) определяется выражением (6.20), называют отбеливаюш,им фильтром, который преобразует случайный процесс r{t) со спектральной плотностью 5г(со) в белый шум.

Если последовательно с отбеливающим фильтром включить звено с передаточной функцией Нп{р), определяемой выражением (6.19), то получим систему, оптимальную для заданного входного воздействия r{t), спередаточной функцией

Я, , (/со) = Ф (/со) Я (/со) = (/со)/[¥ (/ )]. (6.22)

В соотношении (6.19) передаточная функция НпЦа>) выражается через взаимную спектральную плотность процессов g() и n{t), но при произвольном входном воздействии г{1)фп{1) известной является взаимная спектральная плотность процессов g{t) и v{t). Поэтому необходимо выразить спектральную плотность 5g (/co) черезспектральную плотность Sgrii)- Тогда искомая Передаточная функция НптИ), оптимальная для известных задающего воздействия g{t) и помехи v{t), будет определена.

В соответствии с обозначениями, принятыми при выводе формулы (6.17), в рассматриваемом случае следует положить: g{t)=Xi{t)=yi{t) -