чаем, когда задающее воздействие и помеха статистически независимы. Тогда спектральная п.тотность входного воздействия 5г(©)=5,(сй)-г

Ошибка e{t) замкнутой системы радиоавтоматики при входном воздействии вида (6.2) может быть представлена в виде суммы двух составляющих: ошибки е(0 по задающему воздействию и ошибки e.,{t) по помехе:

eit) = eit) + e,it). (6.3)

Если Н (р) - передаточная функция замкнутого контура этой системы, то в соответствии с (1.58) и (1.60)

eit) = [l-Hip)]git), eAt) = H{p)v{t). (6.4)

При статистически независимых задающем воздействии и помехе ошибки e{t) и et) также статистически независимы и спектральная плотность Se(cu) ошибки в{t) В ЭТОМ случас равна сумме спектральных плотностей составляющих ошибки:

S.( ) = 5.,(M) + S, , (6.5)

где Sgg(cu) - спектральная плотность ошибки e{t)\ S) - спектральная плотность ошибки ejj:).

Из (6.4) на основании (3.48) находим

5, (ю) = 1-Я(/со)==5(со), (6.6)

5,Л ) = 1(/ )Г5Лй). (6.7)

Тогда с учетом (6.5) получаем, что дисперсия ошибки системы

X 00

= i J S,f(o:)dcD=2 J {l-Я(/cD)S(cD)-f Я(/со)р5 (о))}с*

- CO - со

(6.8)

и соответственно среднеквадратичная ошибка зависят от вида передаточной функции Н{р) этой системы. При тех же спектральных плотностях Sg(cu) и S(cu) задающего воздействия и помехи значения среднеквадратичной ошибки для систем с разными передаточными функциями будут различными. В терминах функционального анализа среднеквадратичная ошибка системы в рассматриваемых условиях ее работы есть функционал от передаточной функции системы (j - VD=J\H{ja)}, определяемый выражением (6.8).

Задачей оптимального синтеза является нахождение такой передаточной функции Яопр(р), при подстановке которой под знак интеграла (6.8) при заданных спектральных плотностях 5(сй) и 5,(сй) дисперсия ошибки D, полученная в результате вычисления этого интеграла, будет[ иметь наименьшее из всех возможных значений, соответствующих любым Н {р)фНд .{р).

в терминах функционального анализа задачей оптимального синтеза является нахождение передаточной функции Нот{р)> доставляющей экстремум (минимум) функционалу (6.8), определяющему значение выбранного показателя качества системы - среднеквадратичной ощибки.

Передаточную функцию Hanip), обладающую указанным свойством, называют оптимальной передаточной функцией, а экстремум выбранного показателя качества - критерием оптимальности. В данном случае критерием оптимальности является критерий .миии.му.а среднеквадратичной ошибки:

/ = min?. (6.9)

Поскольку передаточная функция системы определяет ее структуру, приходим к следующей формулировке: задачей оптимального синтеза системы радиоавтоматики при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи является синтез структуры этой системы, оптимальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки.

Замкнутые системы радиоавтоматики часто являются следящими радиотехническими измерителями параметров движения объектов: угловых координат, дальности и составляющих вектора скорости. Таким образо.м, задающее воздействие jg() системы является из.меряеыой величиной, а выходная (управляемая) величина y(t) - результатом измерения или в терминах теории оптимальной фильтрации оценкой измеряемой величины g{t).

Оптимальный следящий измеритель вырабатывает, таким образо.м, оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценку y(t) измеряемой величины g{t).

Система, оптимальная по критерию минимума среднеквадратичной ошибки, может быть нелинейной. Тогда задачей опти.мальиого синтеза является нахождение оптимальной системы ие в классе линейных систем, а в более широком классе нелинейных систе.м, что существенно усложняет решение задачи. Однако в случае, когда задающее воздействие и помеха - нормальные (гауссовы) случайные процессы, оптимальная система является линейной.

Уравнение Винера - Хопфа. Как доказывается в теории оптимальной фильтрации, необходимым и достаточным условием оптимальности системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки является отсутствие корреляции между мгновенной ошибкой системы, проверяемой иа оптимальность, и выходной величиной любой другой линейной системы. Поясним это утверждение. Пусть Н (р) - произвольная передаточная функция; Hamip) - передаточная функция системы, проверяемой иа оптимальность; у {t)=H {р)г (t) и yoit)=Ho j{p)r (i) - выходные величины этих систем при входном воздействии (6.2).

Система с передаточной функцией Hamip) будет оптимальной тогда и только тогда, если мгновенная ошибка этой системы ea{t) = =g{t)-г/о(0 не коррелироваиа со случайной функцией y{t), т. е. если

у (О е, {t)=y{t) {g{t)-yo (0] = 0. (6.10)

7* Зак. 561 179

Из (6.10) может быть получено интегральное уравнение - уравнение Винера - Хопфа, решение которого определяет весовую функцию оптимальной системы:

S /г , {t-fl) R, (0-т) = R, (t-x). (6.11)

Уравнение Винера - Хопфа - линейное интегральное уравнение, определяющее при заданных корреляционных функциях Rr{-) и Rri) весовую функцию hom{t). системы, оптимальной по критерию мини-MVixia среднеквадратичной ошибки.

Решение уравнения Винера - Хопфа без учета условия физической реализуемости синтезируемой системы. Приступая к решению интегрального уравнения Винера - Хопфа, обратим внимание на то, что .гевая часть уравнения (6.11) по своей структуре близка к интегралу свертки функций hom{t) и Rr{t) вида (1.25) и отличается от него тем, что аргументом функции Rr{-) под знаком интеграла является разность &-т, а не величина i), что характерно для интеграла свертки. Нетрудно заметить, что левая часть (6.11) будет точной сверткой, если пределы интегрирования принять не от О до /, а от -оо до оо, так как в этом случае слагаемое т в аргументе функции R,.{--т) можно отбросить. Действительно, если {) изменяется в пределах от -оо до оо, то и разность {)-т изменяется в тех же пределах при любом конечном т.

Переход к бесконечным пределам интегрирования означает, что синтезируемая система будет оптимальной лишь при бесконечном времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме.

Итак, запишем (6.11) в виде

S K{t-)R,{-x)dbR,{t-r)

- со

и сделаем замену переменных, обозначив &-т=л, t-x=f Тогда (6.11) примет вид

5 /г ,(-)г() = ,ЛО- (6.12)

- 00

Здесь, очевидно, левая часть урагнения - свертка функций /1опт( ) и Rri-).

При решении уравнения (6.12) на данном этапе откажемся от требования физической реализуемости системы, т. е. от требования, чтобы весовая функция системы обращалась в ноль при отрицательных значениях ее аргумента (1.22). В этом случае уравнение (6.12) решается достаточно просто.

Воспользуемся теоремой о свертке из теории преобразования Фурье, которая гласит: преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций.

Обозначив буквой оператор преобразования Фурье, из (6.12)