теля и опорным напряжением фазового дискриминатора, имеющим ча стоту /о, т. е. Ыд=фдАфр, где кф- коэффициент передачи фазового дискриминатора. В этом случае система АПЧ сводит фазовое рассогласование Acfp между напряжением промежуточной частоты и опорным напряжением к постоянному значению. Но тем самым сводится к нулю и частотрюе рассогласование этих напряжений, так как разность фаз двух гармонических колебаний может быть постоянной (в частности, равной нулю) лишь при равенстве частот этих колебаний.

§ 1.3.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ[МЕТОДЫЦОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЬ ВНЫХЦСИСТЕМ

Обш,ая характеристика методов. Всякое устройство, рассматривас кое лишь с точки зрения математической зависимости между его выходной и входной неличинами как функциями времени, называется динамической системой. Таким образом, динамической системой является алтоматическая система в целом и каждое ее звено в отдельности.

Задачей математического исследования автоматической системы, как системы Д1;нгмической, является определение реакции этой системы y{i) на заданное входное воздействие g{t) или, что является более простой задачей, нахождение некоторых характеристик системы, определяющих ее общие свойства.

Основные методы математического исследования автоматических систем можно разделить на две группы - временные методы и частотные методы.

Временные методы базируются на использовании дифференциального уравнения системы, позволяющего определить передаточную функцию системы и найти такие важнейшие ее характеристики, как переходная и весоЕая функции. Знание весовой функции позволяет исследовать процессы в системе посредством интеграла свертки.

Частотные методы основаны на использовании частотной передаточной функции системы, а также на ее частотных логарифмических характеристиках.

Использование дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения широко используются при исследовании процессов в автоматических системах непрерывного действия, в особенности в системах нелинейных и в системах с переменными параметрами. Для линейных систем с постоянньми параметрами развиты более удобные в практическом отношении частотные методы.

Общий метод составления дифференциального уравнения автоматической системы заключается в следующем. Для каждого функционального злекента автоматической системы составляют в соответствии с его теорией дифференциальное уравнение, связывающее выходную реличину зтого элемента с входной. В результате получанэт систему уравнений, число которых равно числу функциональных элементов гвтоматической системы. В полученной системе дифференциальных урЕЕнений величины g{t) и y{t) рассматривают как основные, а все остальные величины на входе и выходе функциональных элементов - как промежуточные. Исключая из полученной системьГур авне-

яий все промежуточные величины, получим уравнение, связывающее величины y{t) и g{t), т. е. уравнение автоматической системы.

Процедура исключения промежуточных перемеНных из систем дифференциальных уравнений достаточно трудоемкая. Упрощение этой процедуры для линейных систем достигается применением передаточных функций.

Пусть дифференциальное уравнение линейной динамической системы имеет вид

2a ,i= 2Ьд1-. (1-3)

кТо dt ito dt>

где MN.

Обозначим p=dldt оператор дифференцирования и запишем (1.3) в виде

!V М

aj-kP%= 1i Ьм-1РХг- (1.4)

fe=0 i=0-

Рассматривая формально как общий множитель в левой части уравнения (1.4), а х- в правой, представим (1.4) в виде

Dip) x,{t)=RMx,{t),

гдеОд,(р)= 2 u:yv-fe - дифференциальный полином левой части *=о

уравнения; ]м(р)= 2л1-гР-дифференциальный полином пра-

вой части уравнения.

Разделив формально обе части уравнения на Одг (р), получим

x,{t)==W(p)x,it), (1.5)

где W(p)-Rm{p)/Dn{p) - передаточная функция, соответствующая дифференциальному уравнению (1.3).

Выражение (1.5) представляет собрй лишь сокращенную операторную форму записи уравнения (1.3). При этом правую часть (1.5) формально рассматривают как произведение передаточной функции и функции времени.

Введенное понятие передаточной функции с использованием ал-гебраизированного оператора дифференцирования p=dldt и функций времени является нестрогим.

Строгое определение передаточной функции с использованием преобразования Лапласа и комплексной переменной р=с-4-/со изложено далее.

Рассмотрим применение передаточных функций для свертывания системы дифференциальных уравнений в одно уравнение более высокого порядка на примере системы АСН (см. рис. 1.9). Для простоты рассмотрим систему АСН без корректирующего устройства. Процессы

в системе описываются следующими уравнениями:

е() = () -г/()-уравнение для ошибки;

u{t) - kje{t) - уравнение дискриминатора;

Ти-\-Uy{t) = kyU{i) - уравнение усилителя (упрощенное);

Тдйд + () = йдМу () \ уравнения исполнительного двигателя

y{t) = kQ.{t) \ с редуктором,

где др- коэффициент передачи дискриминатора; Ту и ky- постоянная времени и коэффициент передачи усилителя; Гд и - постоянная времени и коэффициент передачи исполнительного двигателя; Ар- коэффициент передачи редуктора.

Уравнение исполнительного двигателя является в данном случае одновременно и уравнением объекта управления -следящей антенны, момент инерции которой учитывается при определении постоянной времени Гд исполнительного двигателя.

Перепишем эти уравнения в операторной форме (1.5), т. е.

e{t)g{t)-y{t), (а)

д(0 = (0. (б)

у (О = [Р) = TTV

(О = iP) у (О = -rq у (0. (г)

у(0-,(р)йд(о=йд(0- (д)

Подставляя последовательно (а) в (б), (б) в (в), (в) в (г) и (г) в (д), получим

у it) = ip) ip) ip) k [g{t)-y (t)] =

откуда, обозначив Ki=kp-pkykpkp, найдем уравнение системы АСН [ГдГурз + + г) р2 р + С,] (/ (О = 1 (О (1-6)

(а.р + а,р + а,р + a,)y{t) = b,g (i),

где ао=ГдГу; al=Гд-f Гу; а=\; a,=bo=Ki.

В общем случае линейное дифференциальное уравнение замкнутой автоматической системы запишем в виде

{а,р + а,р - +...+ а -iP + а ) (/ = (& р- + Ь.р- -+...+bJg

(1.7)

при тп, или в операторной форме

y{t) = Hip)git), (1-8)