пая величина при наличии различных воздействий должна определяться для всех воздействий в совокупности.

Понятие устойчивости в нелинейных системах оказывается более сложным. Возможно, что значения начальных условий или наблюдаемых в автоматической системе отклонений будут влиять на устойчивость. Так, может оказаться, что для малых , т. е. не превосходящих некоторых значений отклонений или начальных условий, система будет устойчивой, а для больших , т. е. превосходящих эти значения отклонений,- неустойчивой, с расходящимися процессами. В этом случае система оказывается устойчивой б малом и неустойчивой в большом . Возможна и обратная картина, когда система устойчива в большом и неустойчива в малом . Если система устойчива при любых отклонениях, то говорят, что система устойчива в целом .

Fie)

Рис. 5.5

Ha рис. 5.5, a изображена следящая система сопровождения с нелинейным чувствительным элементом (дискриминатором). Здесь g() - задающее воздействие; y{t) - управляемая величина; e{t) - ошибка сопровождения; F {е) - нелинейная зависимость, по которой дискриминатор вырабатывает сигнал управления; W {р) - передаточная функция линейной части системы; v{t) - внутренний шум.

Типичная статическая характеристика дискриминатора изображена на рис. 5.5, б. Сигнал на его выходе отличен от нуля только в пределах апертуры характеристики, т. е. при выполнении условия leKeo. Если это условие выполняется, то процессы в системе могут быть сделаны сходящимися, и следящая система будет осуществл5:ть сопровождение по заданной величине g(). При невыполнении этого условия ошибка выходит за пределы апертуры характеристики дгск-римннатора, пропадает сигнал управления и с большой вероятностью может произойти срыв слежения, т. е. в следящей системе возникает расходящийся процесс без возврата в состояние синхронизации. Это типичный случай устойчивости в малом и неустойчивости в больиюм .

Ограниченность апертуры характеристики дискриминатора кроме возможного появления срыва слежения определяет и вторую проблему- обеспечение надежного захвата сигнала следящей системой при начальной ее синхронизации. Если рассогласование в системе велико и выходит за пределы апертуры характеристики дискриминатора, то необходимо организовать поисковое движение выходной величины с тем, чтобы при попадании рассогласования в пределы апертуры процессы оказались бы сходящимися и рассогласование в дальне::шем оставалось бы малым. При этом будет осуществляться слежение за

входным сигналом. При узкой апертуре характеристики дискриминатора эта задача может оказаться сравнительно трудной.

В нелинейных системах возможен новый вид установившегося режима, называемый автоколебаниями. Под автоколебаниями понимают устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой и постоянной частотой. Для возникновения автоколебаний не нужен внешний источник возбуждения. Они возникают самопроизвольно и могут существовать неограниченное время.

Методы исследования нелинейных систем. Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-определенную функцию координат системы, имеющую также знако-определенную производную по времени. Применение этого метода ограничивается его сложностью.

Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым. Однако он пригоден для некоторых частных случаев.

Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные характеристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. На границах участков необходимо произвести сшивание отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характеристиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произвольного вида.

Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих (в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равьа порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это затрудняет использование метода для исследования систем, описываемых дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае дифференциального уравнения второго порядка фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть с успехом применен 4].

Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических системах можно применять математический аппарат теории марковских случайных процессов. Од1(1ако сложность метода и возможность

решения уравнения Фоккера - Планка, которое требуется при анализе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование [13].

Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их сложность и ограниченность применения привели к разработке приближенных, но более простых методов исследования нелинейных систем. Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем [41.

Метод гармонической линеаризации основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причем эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения автоколебаний в системе. Однако метод может быть применен и для исследования переходных процессов [4].

Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под действием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти некоторые статистические характеристики.

§ 5.2. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Основы метода. Данный метод является приближенным, но он применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Мы рассмотрим его только применительно к расчету автоколебаний в автоматических системах.

Предположим, что замкнутую автоматическую систему можно разбить на линейную часть и нелинейное звено (рис. 5.6). Уравнение линейной части запишем в общем виде:

Нелинейное зВено

Линейная часть

=л(р)У = [(р)/ (р)]У, (5.1)

где (р) - передаточная функция линейной части; X и г/ - входная и выходная величины нелинейного звена.

Пусть уравнение нелинейного звена имеет вид gg

y = F(). (5.2)

Метод гармонической линеаризации применим и к более сложным нелинейным зависимостям, например y-F{x, х); y=F{x, у); у= =F(x, X, у) и др. Здесь х и у - производные входной и выходной величин нелинейного звена. Ограничимся указанным случаем (5.2).

Поставим задачу отыскания автоколебаний в данной нелинейной системе (рис. 5.6). Автоколебания будут, строго говоря, несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной х они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (5.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот. Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся