Для единичной ступенчатой функции уравнение (4.8) можно записать в виде

Приведем (4.9) к виду (4.8): При этом получаем

dx а. \{t-ii)

P(t) = ai/t- Si = t-

Учитывая, что x(t) = e-Sit) j Q (t) qSH) dt+C , получим q (t - Q, &) = t-<yX

X[./ai--q = l/ai--C/; u

При нулевых начальных условиях (для ; =-9) должно выполняться равенство 9(0, fl) = 0. Определяем постоянную интегрирования

С = /а.

Окончательно

?(;-{>, i9) = -J-[l-(i!)/0.]. (4.10)

Дифференцируя выражение (4.10) по i&j получим функцию веса или

= (4-И>

Для уравнения (4.8) весовую функцию можно найти сразу из общего решения, если на вход подать единичный смещенный импульс Q(t)=b{t-{}). Проделав необходимые выкладки, получим

wit-, ) = е- (*>, где R(t, =j Р {t)dt, (4.12)

Запишем дифференциальное уравнение в более общем виде

dx dt

ao{t) + aAt)xbo(t)f(t)

и приведем его к виду (4.8)

, oiW [МО dta {t) a,{t)i->-

Если входной сигнал представляет собой единичный импульс, приложенный в момент времени t=Q, т. е. f(t)=b{t-, то решение при нулевых начальных условиях будет соответствоватьвесовой

ункции

С а. t (4.13)

де R{t, b) = \di = ai\n.

Рассмотрим опять в качестве примера уравнение (4.8). Приведем

:г0 к виду

Тогда

i также функция веса

witb, b)ie- =, (4.14)

что совпадает с выражением (4.11).

В большинстве случаев при исследовании нестационарных систем прибегают к численным или графическим методам [11, 34].

Метод последовательных приближений используют для нахождения весовой и переходной функций, а также для определения реакции системы при любом известном входном воздействии f(t). Рассмотрим исходное уравнение (4.1). Пусть коэффициенты ait) меняются во времени сравнительно медленно. Для некоторого момента времени представулм их в виде суммы постоянной и изменяющейся частей:

а/!(0 = я? + а: = at ф) + а] {t-b).

Поаае этого исходное уравнение (4.1) запишем в виде

a-f...-fa = / (0- (0. (4.15)

/о(0 = Ьо(0+...+Ь (0/,

Так как коэффициенты а [t) меняются сравнительно медленно, то функция y{t) мала и ее можно рассматривать как возмущение. Тогда к (4.15) можем применить метод последовательных приближений, и решение (4.15) запишем в виде ряда

Зафиксируем переменные коэффициенты a{t) = ai{). Для нахождения первого приближения (при замороженных , коэффициен-

тах необходимо решить уравнения

ajgi-f ... +аХ = /о(0-

(4.16).

Для получения второго приближения необходимо в правую часть уравнения (4.15) подставить первое приближение х, а в левую часть-х-х- + х. В результате получаем уравнение с фиксированными коэффициентами:

0 7 Н----+a*Xi

решение которого обычными методами позволяет определить х.

Повторяя этот процесс многократно, находим рекуррентную формулу для определения -го члена ряда:

,d Xk ~di

(4.17).

Ряд (4.25) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты Ui.

Передаточная функция. Связь между входной и выходной величинами в нестационарной системе определяется интегральной зависимостью

x{t)=lw{t~-., (0)dd. (4.18>

Предположим, что к входному сигналу f{t) можно применить преобразование Фурье. Тогда сигнал представим в виде

Объединив две предыдущие формулы, получим

t + а>

х(0= j (-F{ju>)e!<4a. (4.19)

- со - со

в первом интеграле нижний,предел равен -оо. Это означает, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при /<0, в том числе и при f--оо.

Изменив в (4.19) порядок интегрирования и умножив правую часть на е е~ =1, получим

x{t) = - J Fi}(M)efdw j wit-Q, d)X

- 00 - CO

- - + CO

Xe-/ (-*>dd = j Г(/а), 0/=(/ ) e/ do3. (4.20)