где А/э - эквивалентная полоса пропускания белого шума, определяемая как интеграл в бесконечных пределах от квадрата модуля частотной передаточной функции,.

При вычислениях интеграла (3.24) обычно приходится иметь дело подьштегральным выражением вида \В (ja)\/\A (Ja)\, где Л (/со) и В (/м) - некоторые полиномы комплексной переменной у со. Учитывая, что в реальной системе при наивысшей степени полинома знаме-вателя 2п степень полинома числителя не должна превосходить 2п-2 для удобства интегрирования представим это выражение в виде

\ I В (/м) Р bo ашГ- + Ьг (/(0) -*+ . +

) Л0 сй)2 a ycu) -fai(/tu) -4-...-fa 2

В приложении 1 вычислены интегралы этого типа до значений n=S.

Рассмотрим несколько примеров прохождения случайных процессов через типовые линейные звенья.

1. Дифференцирующее звено. Для определения корреляционной функции процесса на выходе дифференцирующего звена необходимо вначале ввести понятие производной случайной функции [8]. Производная случайной функции x{t)

JUrnJtttzlu. (3.26)

В (3.26) под пределом понимают предел уже не случайной функции, а дисперсии

Для дифференцируемости случайной функции x{t) необходимо чтобы она была непрерывной в среднеквадратическом значении:

\\т M{\x{tM)-x{tm = 0. (3.27)

Д/-)-0

Однако не все случайные процессы, непрерывные в среднеквадратическом значении (3.27), имеют производные, т.е. дифференцируемы. Заметим, что достаточным условием дифференцируемости стохастического процесса является ограниченность второй производной от корреляционной функции. Для стационарных процессов это условие со-

стоит в выполнении неравенства < оо при любом г, из которого

вытекает другое условие дифференцируемости /?(0)<оо.

Найдем среднее значение производной от случайного процесса. Учитывая определение (3.26), для у (t)=dx(t)/dt имеем

М{,(0} = м{Иш/-(±М:=)} =

т. е. математическое ожидание производной процесса равно производной его математического ожидания.

2. Интегрирующее звено. Интеграл от случайной функции определяют, как и производную в среднеквадратическом значении. Итак,

у {t)=\x{K)dk. (3.28)

Представляя интеграл (3.28) как предел суммы, получим

M{y{t)\M \ \x(h)d%\\M{x{%)]dK lo ; о

т. е. действия интегрирования и нахождения математического ожидания можно переставлять, что было использовано ранее [см., например, (3.25) и (3.27)].

При прохождении через линейные звенья и цепи изменяются законы распределения случайных процессов. Исключение составляет нормальный процесс, который на выходе любой линейной цепи сохраняет свое распределение, а изменяется лишь его корреляционная функция.

При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство (3.26) с передаточной функцией W{p)p спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на со:

2 (со) = Cu25j (со),

при двойном дифференцировании - на со* и т. д.

При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено (3.28) с передаточной функцией W{p) = \lp спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением спектральной плотности входной величины на со:

5 (co)=5i ((й)/co

при двойном интегрировании - на со* и т. д.

Рассмотрим вопрос о взаимной корреляции процессов на выходах двух линейных систем, когда на их входах действует один и тот же случайный процесс x{t) со спектральной плотностью 5(©).

Пусть yi{t) и yS) процессы на выходах этих систем, а их функции веса: Wi{t) и wif). Тогда в соответствии с (3.16)

i/i(0= S w{t-xyx{x)d%,

- 00

УЛ)= \ W2{t-%)x{x)dx.

- со

Взаимная корреляционная функция Riiiti, t) этих процессов по (3.19)

со

- со - со

Для линейных систем с постоянными параметрами и стационарного в широком смысле случайного входного процесса последняя формула переходит в (3.21).

Используя это соотношение и введенное ранее понятие взаимной спектральной плотности Зц{а), получим

со 00 00

Si;(co)= 5 5 5 R{x--q + k)Wi{r\)Wi{k)e-IUxdXdr]. (3.29)

-СО -OI -со

Заменой г на г- ц-Ук в (3.29) удается разделить переменные интегрирования и получить

(со) = 5 (со) Wi (/со) W, {- /со), (3.30)

где Wi(/co), Wiija) - передаточные функции соответствующих линейных систем.

Если линейные системы одинаковы, то Wi(/m) = W2(/m) и(3.30) переходит в (3.23).

Прохождение случайных процессов через замкнутые линейные системы. Рассмотрим замкнутую структуру с обратной связью (рис. 3.5).

Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия g{t) и

fftj

помехи f{t) считаем заданными и известны- , 1 i/pj

ми. дШ

Пусть (t) функция веса для ошибки по задающему воздействию, а hj{t) функция веса Рис. 3.5

для ошибки по помехе. Тогда с учетом аддитивного характера взаимодействия задающего воздействия и помехи и формулы (3.16) для ошибки e{t) получаем

00 со

e{t)=jgit-k)h,mdX+ 5 f{t-X)hf{X)dX. (3.31)

Для корреляционной функции /?е(т) ошибки имеем

/ г се оо

(г) = lim ±,\[dtg{t + x-ц) (ц) dц g{t-X) {X) dl +

Г CO T ca

+ dtfit + x-r])hfi)dy]fit-X)hAX)dX+ dtg{t + x-vi)x

-TO 0 -TO