Из (3.10) также следует

A{t)=x{t) cos tdot + y{t) smaj,

С (0 = x (0 sin a t-y\t) cos at. (3.11)

Обозначим 7?(t), i?c(t). Rac{x), /?сл (t) корреляционные и взаимно корреляционные функции введенных случайных процессов А (t) и C{t). Тогда из (3.11) следует

.4 (т) = Rc (т) = R (т) cos а) т + Ry (г) sin а х, Rac i) = - RcA (т) = Kir) sin co t-i? (T) cos CO t. (3.12)

С учетом (3.12) определяем

.(f) = .4 (т) cos>oT + Rc (f) sin M T.

Выражая корреляционную функцию /?(г) процесса через энергетический спектр 5(0)), из (3.12) имеем

Ra W = с (-г) = j S (м) cos [(м-й) ) г] dcu. (3.13)

Для узкополосного процесса

I{x)Rc{x) = ~ 5(й)и-cu)cosu)Tc(u). (3.14)

- СО

Из формулы (3.13) следует, что дисперсии введенных в рассмотрение случайных процессов A{t) и C{t) одинаковы и равны дисперсии исходного процесса x{t), т.е. R(0)=Rc(0) = f(0).

Соотношение (3.14) показывает, что для узкополосного исходного случайного процесса x{t) корреляционные функции случайных п))-цессов A{t) и C{t)-медленно меняющиеся функции по сравнению с cos aot. Принимая во внимание (3.10), находим, что корреляционные функции огибающей E{t) и фазы (f{t) также являются медленно меняющимися по сравнению с cos Мо, а их энергетические спектры сосредоточены в низкочастотной области. Отсюда следует, что узкополосный процесс носит характер высокочастотного колебания частоты Мо и медленно меняющихся огибающей и фазы.

Для взаимных корреляционных функций процессов A(t) и C(t) из (3.12) имеем

Rac {-I = - сл () = i j S (со) sin [(й)-й) ) т] da. (3.15)

Для узкополосного процесса, принимая во внимание (3.15), находим

Rac (т) = - - сл (-г) = J -5 ( о- ) sin мт dw.

- СО

Из формулы (3.15) вытекает, что при г=0, т. е. в совпадающие моменты времени, случайные процессы A{t) и C{t) всегда некоррелиро-ваны, а если А (t) и C(t) - гауссовы процессы, то они еще и независи.мы между собой.

Прохождение случайных процессов через разомкнутые линейные цепи. Элементы радиоавтоматических устройств подразделяют на нелинейные неинерционные и линейные инерцион-

yftj

ные. Ранее были даны соответствующие определе- }yT iiW. ния и указаны их основные свойства, которыми теперь и воспользуемся. Известно [5], что любое линейкое инерционное звено или система полно- Рис. 3.4

стью вписываются передаточной функцией W{p) и функцией веса w{t), связанными между собой преобразованием Лапласа: W{p)=L{w{t)}.

Пусть имеется разомкнутое звено, описываемое указанными характеристиками, на входе которого действует случайный процесс x{t) с корреляционной функцией Rxik, 2) (рис. 3.4).

На основании известной формулы свертки (интеграл Дюамеля) выходной сигнал

у {t)=:\w{x)x(t-%)d%=:\w{t-x)x{x)dx. (3.16)

о Го

Дляматематического ожидания случайного выходного процесса y{t), используя возможность перестановки нахождения среднего и интегрирования, получим

M\{y(t)] = \ wlt-x)xlxfdx=~y{t). ?:(3.17)

Для о.т1ределения корреляционной функции Ry{ti, t) выходного процесса у{г) найдем центрированное значение выходного процесса, положив x{t)x{t)-~x{t), yit)=yit)-y(t):

tf,(t,) = lw\{q){i~qydy],

у iU) = 5 w (т]) (-Л) d. (3.18)

Для корреляционной функции Ry{U, ti\ из (3.18) получаем ,=-М{1{!{Щ\\т{ц)ш{ЦМ{х{1,-ц)хР{1,~Щ

о 0]

>idd}.==\\w{n)\w{}.)R,[{t,~L), {t,-ti)]dy\d\ (3.19)

где R3,{ti, t-i) определяется для входного случайного процесса x{t).

5 Зак. Б61

Дисперсия выходного процесса получается из формулы (3.19)

при ti = ti.

B{Q = \w{x\)dx\\w{}C)R,\(t,~x\), (3.20)

предположим, что случайный процесс на входе является стационарным, т. е. его корреляционная функция RS\ U)=Rx{x} зависит только от сдвига -t2=x. Однако за счет конечной полосы пропускания любого звена процесс на выходе вначале будет нестационарным, а его корреляционная функция и дисперсия могут быть определены с учетом общих выражений (3.19) и (3.20) по формулам

I I (3.21)

Dy (t,) = 5 а;(т1) S a; (X) R (Х-ц) dX.

Если в (3.21) 1оо и 2оо и рассматриваемое звено (или система) устойчиво, то Ry{ti, U) и Dy{ti) стремятся к некоторым пределам:

Ry ix)=\w (л) d 5 w (Х) R, (т- г] + Х) dX,

(3.22)

Dy==\w{v)d\w{X)R {X~r)dX. о о

Для нахождения указанных статистических характеристик установившегося стационарного процесса на выходе системы можно воспользоваться и спектральной плотностью входного процесса 5ж(сй).

Между спектральной плотностью процесса на выходе линейного звена с передаточной функцией W{p) и входной спектральной плотностью 5эс(а>) имеется зависимость [3, 5]

Sy{a) = \W{ia)fS,{a). (3.23)

Для нахождения дисперсии Dy выходного случайного процесс необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность, определяемую по формуле (3.23):

00 со

=ij =i i I (И I-xИ(3-24)

-co -8

в частном случае, когда физические размерности входной ивыход-ной величин одинаковы, а входной процесс пpёдctaвляeт собой белый щум S3c(ffl)=JV=const, дисперсия выходного процесса

я =4 lW{mda = NAh, (3.25)

- со