График спектральной плотности изображен на рис. 3.3, в.

Неудобство.м рассмотренной аппроксимации (3.9) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной координаты - в данном случае угла наклона объекта. При этом дисперсия угловой скорости стремится к бесконечности. Для описания процесса, представляющего собой угловую скорость, можно применить формулу (3.9) непосредственно к этому процессу. Однако при этом дисперсия угла наклона будет стремиться к бесконечности .

Более удобно записать корреляционную ФУнкцию в виде

/? (t)=D e-ti;i [cosPt-Ь- sinpJTl при этом спектральная плотность

5 (a)) = D

2 + 11

2aD

a спектральная плотность для первой производной рассматриваемой координаты

<j , . 2а шЮд

Ее интегрирование в бесконечных Рис. 3.3

гределах дает конечную дисперсию угловой скорости: Di=Do(tx2-fОднако дисперсия углового ускорения и здесь получается бесконечной. Чтобы получить конечное значение дисперсий первой и второй про-изводныхрассматриваемой координаты, требуется использование еще более сложных выражений для корреляционной функции.

Узкополосные случайные процессы. Случайный процесс с непрерывным энергетическим спектром называют узкополосньш, если его энергетический спектр сосредоточен в относительно узкой полосе частот около некоторой частоты Мо. Условие узкополосности математически может быть выражено неравенством соц<соо, где Шо - центральная частота спектральной плотности мощности.

При некоторых весьма общих предположениях [8] можно по заданному случайному стационарному процессу x{t) образовать с помощью преобразования Гильберта новый сопряженный x{f) стационарный случайный процесс

Тогда случайный процесс x{t) и ему сопряженный процесс y{t) удобно представить в виде

(О = cos Ф (О, у (t) = E{t) sin 0{t).

(3.10)

Можно показать [8], что взаимная корреляционная функция случайного процесса x{t) и сопряженного ему процесса y{t)

Я;,у (Т) = -Ry:, (Т) ь= ± f S (со) Sin СОТ da.

где S(cu) - энергетический спектр процесса x{t).

Взаимный энергетический спектр процессов x{t) и y{t) определяется соотношением

\ /5(0)), а)<0.

Энергетические спектры исходного x{t) и сопряженного y{t) случайных процессов совпадают друг с другом, ибо они по определению имеют одинаковые амплитудные составляющие, фазы которых сдвинуты на я/2, а энергетический спектр не зависит от фаз.

Из последнего выражения следует, что при т=0 эти случайные процессы некоррелированы, а если они являются гауссовыми процессами, то эти процессы независимы.

Особый интерес представляют так называемые узкополосные случайные процессы.

Рассмотрим выражение для корреляционной функции узкополосного стационарного (по крайней мере, в широком смысле) случайного процесса

R (г) = 5 (со) cos сот da.

Введем новую переменную а) = а)о-w, где Мо-центральная частота спектральной плотности мощности исходного случайного процесса x{t). Тогда

(г) = -i- J S (сй -м) cos [(Мо-м) т] da =

- \ S{ag-а) COS ах da

- 00

J S (соц-со) sin сот da

cos MjT -f

sincOoT.

Введем обозначения

Из последней формулы находим (г) = (г) cos [а) г-ц (г)],

где )

RI (т) = (г) + RI (г); (г) = arctg [i?, (т) ? (т)].

Так как энергетический спектр S (мо-м) расположен в низкочастотной области, что вытекает из условия узкополосности исходного случайного процесса, то Rii) и s(t) будут медленно меняющимися функциями т. Если 5(&)о-м) можно считать симметричной относительно центральной частоты Мо, то

R (г) =

S(cu -м) cos сот dco

cos сОцТ = (г) cos сОдТ.

Следовательно, корреляционная функция узкополосного процесса энергетический спектр которого расположен симметрично относительно высокой частоты Мо, равна умноженной на cos МоТ корреляционной функции RT), соответствующей спектру, полученному из исходного смещением на Мц в область низких частот.

Из вырал<ения (3.10) вытекает справедливость равенств

E{t) = Vxt) + y\{t) и O(0 = arctgf-g,

где£(Ол(0 - огибающая и фаза исходного случайного процесса х(0> Введем обозначение Ф() = а)о-ф(0 и, подставив его в (3.10), получим

x{t}=E (t) cos Кг -ф (t)] = А (t) cos aj -f С (О sin aj, у (t) - E (t) sin [aj-cp (t)] = A (t) smaj-С(t) coscoo,

A{t) = E (t) cos Ф (0; C{t) = E (0 sin ф (0-

Отсюда

E it) = VAt) + C{t) ; Ф (0 = arctg .

Иногда вводят понятие комплексной огибающей Z{t) узкополосного случайного процесса x{t):

x(0 = ReZ(OeW,

где Z{t)=E{t)e-iii\

}(х) = 1- j5(a)o-м) sincuxdM.