Корреляционной функции (3.3) соответствует спектральная плотность вида

S ( ) = 2 J (т) cos (шт) = j-? = -(3.4) о

Спектральную плотность S{ai) иногда называют энергетическим спектром функции x{t) [5].

3. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала для следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости Q на входе в соответствии с рис. 3.2. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени (tu i2, tz----).

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределени я Пуассона.

В соответствии со сказанным будем считать, что математическое ожидание Q=0, а средний квадрат скорости равен дисперсии: Q=

График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущимся объектом. Постоянное

значение скорости соответствует

7-1 I/

t--\

движению объекта по прямой. Перемена знака или значения скоро-\ сти соответствует маневру объекта.

Обозначим р. среднее число пе-

I \ * ремен скорости за 1 с. Тогда 7 = I будет средним значением интервала

I времени, в течение которого угло-

вая скорость сохраняет постоянное Рис. 3.2 значение. Применительно к радио-

локатору это значение будет средним временем движения объекта по прямой.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого произведения могут быть два случая.

1. Моменты времени t и t-\-x относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

R,{%) = Q{t)Q{t + %) = Q = DQ.

2. Моменты времени t и t-{-x относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:

R,{x) = Q{t)Q{i + x) = 0,

так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.

Корреляционная функция

Raix)P,R,ix) + PMx)P,R,ix),

где Pi - вероятность нахождения моментов времени t и t-\-x в одном интервале; 2=1--i - вероятность нахождения их в разных интервалах.

Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке времени Дт пропорциональна этому промежутку и равна [гДт или ДтГ~1. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка равна 1-ДтГ Для интервала времени х вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени t и t-\-x в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Дт, так как эти события независимые. В результате для конечного промежутка Дт получаем

Р = (1 Дт,Т) Д.

Устремив ДтО и переходя к пределу, получим Pi= lim (1-Дг/Г)Д = е-

Дт->-0

и окончательно

Ра{х) = Оае-\\т = йе-1У. (3.5)

Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (3.5) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (3.5). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (3.4):

SQ( ) = i+ = j];fXI3 . (3.6)

Графики корреляционной функции и спектральной плотности совпадают с изображенными на рис. 3.1, в. Фор.мула спектральной плотности (3.6) записана для угловой скорости процесса Q (см. рис. 3.2). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэто.му первый коэффициент ошибки Со у следящей системы равен нулю. Это дает возможность использовать спектральную плотность (3.6) при расчете динамической ошибки следящей системы.

Недостатком формул (3.5) и (3.6) является также то, что подобная модель входного процесса приводит к бесконечной дисперсии углового ускорения, что определяется принятым мгновенным переходом от одной угловой скорости к другой (см. рис. 3.2).

Для более точного описания входного процесса принимают, что эти переходы совершаются не мгновенно, а по экспоненте с некоторой постоянной времени. Это показано на рис. 3.2 штриховой линией.

при такой модели входного процесса вместо выражений (3.5) и (3.6) получаются следующие зависимости:

1 е-П1/>

5а(а)) = -

2(Т, + Т,) Djj

(3.7)

(1 +сйт1) (1 +cu2ri) (Г1-Г2) (l+cor?)

(72-7i)(l-fo)2r)

(3.8)

где Ti-среднее время, которое проходит от одной перемены скорости до другой; Га - постоянная времени экспоненты, характеризующая инерционные свойства объекта.

Если перейти к угловому ускорению z=dSlldt, то для него

Яг {x) = Dq

е-11

е-т/г,

Se(co):

2cй(7l + 72) Pq (1+сй2Г?)(1+сй2г1)

72 (r-Ti)

Г2-Г1

(1 +Сй2Г?) il+(oTl) 2TiT2De

(Ti-t2)(\+(i>Tl) (Г2-Г1)(1+Сй27?)

Здесь DDa/iTTi) - конечная дисперсия углового ускорения на входе.

4. Нерегулярная качка. В некоторых случаях угловые перемещения подвижного объекта, вызванные воздействием волнения при движении в водной среде или турбулентностью атмосферы при движении в воздушной среде, описываются гармонической функцией а=А sm{t-\-\p) с известными амплитудой А и угловой частотой р, соответствующей собственной частоте колебаний объекта, и неизвестной начальной фазой г}), лежащей в интервале О-2л.

Для движения такого типа корреляционная функция имеет вид /?o(t)=jDocos рт, где D(,=0,5A - дисперсия рассматриваемой координаты (например, угла наклона). Однако на самом деле рассматриваемое движение обычно отличается от гармонического (рис. 3.3, а). Для учета затухания корреляционной связи между последующими и предыдущими значениями рассматриваемой координаты вводят корреляционную функцию вида (рис. 3.3, б).

/? (T) = Z) e- icos(PT),

(3.9)

где р - пресблэдЕкщая частота (близкая к собственной частоте колебания объекта); р, - паргметр затухания.

Для этой корреляционной функции спектральная плотность

S (a)) = pZ)

Здесь a=2ii/{ii+ -); b=l/{f>+ii). 108