и достаточно, чтобы при ао>0 все п определителей Гурвица, составленных из коэффициентов этого уравнения, были положительны, т. е. чтобы

Ai>0, Дз>0, Д 1> О, Д >0.

Фактически при определении устойчивости системы необходимо вычислить не п, an - 2 определителя, поскольку A=aj>0 в силу необходимого условия устойчивости, а АпаА -!, так как последний столбец определителя Д содержит лишь один отличный от нуля элемент а , причем аО.

В качестве примера рассмотрим условия устойчивости системы АСН (см. § 1.3), дифференциальное уравнение которой имеет вид (1.6):

[Т.Тр + {T,+ T)p + p + K,]y{t) = Kig{t),

чему соответствует характеристическое уравнение

а,р + а,р + ар + аз=0, (2.3)

где ао=ТдТу, a=TJ+Ty, al, UaKi-

Поскольку необходимое условие устойчивости выполнено, т. е. все коэффициенты характеристического уравнения положительны, система может быть устойчивой. Условие устойчивости, т. е. значения параметров системы, при которых система будет устойчивой, определим посредством критерия Гурвица. Из матрицы (2.2) для данного случая получаем

а, а, О

1 3

аа-аПз, Дз =

о 2 О

О 1

= азД

Таким образом, для рассматриваемой системы имеем лишь одно условие устойчивости Д2>0, т. е. ajaa-аоа;з>0 или ааадаз. Подставляя значения коэффициентов, получаем

T, + T>TJKi. (2.4)

При проектировании замкнутой автоматической системы постоянные времени ее звеньев, в частности постоянная времени Тд исполнительного двигателя и постоянная времени Ту усилителя, являются заданными. Они определяются свойствами соответствующих элементов автоматики, входящих в состав системы, и не могут быть изменены в процессе проектирования системы. Значение же коэффициента Ki= =йдруйдр (см. § 1.3) можно изменять в широких пределах, регулируя коэффициент передачи ky усилителя. Поэтому найдем допустимое по условию (2.4) значение Ki при заданных Тд и Ту-.

К,<\/Т+1/Т. (2.5)

Из (2.5) видно, что увеличение постоянных времени отрицательно сказывается на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение коэффициента передачи системы Ki, при котором система еще остается устойчивой.

Устойчивость многомерных систем. Если уравнение автоматической системы записано в переменных состояния (1.30), где матрица коэффициентов

ai 12 а,

21 2 2

п1 п2

то характеристическое уравнение системы может быть получено путем приравнивания нулю определителя \А-р1\, где / - единичная матрица размером п X га. В результате имеем

Р 12

022 -Р

а -р

= 0.

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение, аналогичное (1.12): j - .-ii

I Гл-р/ = (-р) + а,(-р) -+...а ,(-р) + а = 0.

Полином в левой части этого выражения называют характеристической или собственной функцией матрицы А, а корни Я, Яз, . . .,

характеристического уравнения - собственными значениями матрицы А.

Автоматическая система, описываемая уравнением (1.30), устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части.

Каждой матрице А может быть поставлена в соответствие квадратичная форма хАх. Если для всех хО эта квадратичная форма имеет строго положительные (отрицательные) значения, то ее называют положительно (отрицательно) определенной формой. Соответственно матрица А также называется положительно (отрицательно) определенной.

Рассмотрим случай, когда матрица А - симметрическая, т. е. ее элементы удовлетворяют равенству ац=ал.

Собственные значения симметрической положительно (отрицательно) определенной матрицы являются положительными (отрицательными) действительными числами.

Существует критерий Сильвестра положительной определенности симметрической матрицы. Симметрическая матрица А будет положительно определенной, если все ее главные диагональные миноры строго положительны, т. е. если

11 > О,

11 12 12 22

>0,

\А\>0.

Таким образом, в случае, когда матрица А коэффициентов уравнения (1.30) симметрическая, вопрос об устойчивости системы, описываемой этим уравнением, может быть решен на основании критерия Сильвестра положительной определенности матрицы А, взятой с обратным знаком, а именно: если матрица (-А) положительно определенная, то

соответственно матрица А будет отрицательно определенной и, следовательно, все ее собственные значения отрицательны и система устойчива. % g Критерий устойчивости Михайлова. Рассмотрим левую часть характеристического уравнения (1.12), которая представляет собой характеристический полином:

D (р) = а р -f +...+а, ,р + а . (2.6)

Подставив в этот полином p~j(u, получим характеристический комплекс:

D (/ ) = я (/со) + а, (/со) -! + ... -f о = IZ) (/со) I е*:и ,

где \D{j(j))\-модуль характеристического комплекса; t)(co) = = arg D (/ш) - аргумент характеристического комплекса.

Найдем полное приращение аргумента t)(a)) при изменении ш от -оо до -foo для устойчивой и неустойчивой систем. Для простоты ограничимся случаем вещественных корней характеристического уравнения.

Представим характеристический полином в виде D(p)=ao(p- -Pi)(p-Рг). -(р-Рп) и соответственно D(/o))=ao(/m-pt)(/m-p2). . . {j(i)~Pn), где Ph, k=\, п - корни характеристического уравнения.

Для устойчивой системы при вещественных корнях имеем р= =-Oft, ай>0, k-\, п. Тогда D (/co)=ao(/o)-f aj (/ш-f а). . .(/ш-f

+а ) и аргумент г; (к ) = 2 arctg-. Отсюда

k= 1

Дг) = г) (оо)-г; ( - оо) = пя/2- (- пп/2) = 2гап/2.

Таким образом, полное приращение аргумента характеристического комплекса устойчивой системы при изменении ш от -оо до -foo составляет 2гая/2.

Если же система неустойчива и среди п корней характеристического уравнения этой системы имеется т положительных корней, т. е. если Pft=aft>0, k=l., т, pi=-a;, ар>0, i=m+l,n, то

D(/M) = a (/co-ai)(/co-а,).. .(/со-a,J (/o-f a +i).. .(/со + а )

и тогда г; (к.) = 2 arctg -- -j- 2- arctg -,

откуда

Дг; = г[5(оо)-г)(-.оо) = 2 [m (-i+( m) = 2( -2m)<2 f.

Следовательно, полное приращение аргумента характеристического комплекса неустойчивой системы меньше чем 2гап/2.