дальности D сопровождаемого объекта (см. § 1.2). В момент времени tk, когда достигается равенство напряжений и,{1) и Uy, на выходе компаратора возникает видеоимпульс, запускающий формирователь селекторных импульсов, момент возникновения которых; задержан относительно момента излучения зондирующего импульса tu на время t=tji-tu, пропорциональное управляющему напряжению Uy. Действительно, как следует из рис. 1.45, выходное напряжение ГПН изменяется по закону u =Um (t-tu)lT-a и в момент выполнения равенства u{tk) = Uy имеем м (л-ft)n= y. откуда получаем t-t-t = Гп у/ д1 или с=вм у, где kBU=TJu:r - коэффициент передачи временного модулятора.

Таким образом, объект управления системы АСД - временной модулятор является линейным безынерционным звеном с передаточной функцией Гвм(р)=вм-

Объектом управления каждого из двух каналов системы АСН является устройство управления положением диаграммы направленности в соответствующей плоскости, состоящее из исполнительного двигателя, связанного посредством редуктора Р, и карданного подвеса К.П со следящей антенной А, как по-

казано на рис. 1.46. р. ,

При возникновении в системе АСН рассогласования на выходе

управляющего устройства появляется управляющее напряжение Uy, под действием которого ротор исполнительного двигателя приходит во вращение с угловой скоростью Йд. Зависимость Йд от Uy определяется дифференциальным уравнением 7 дйд+Йд=дЫу, где 7 д - постоянная времени двигателя; д-коэффициент передачи двигателя, [йд] = =рад-с~*-В~1. при этом антенна А поворачивается в соответствующей плоскости (азимутальной или угломестной) с угловой скоростью Ь= =рЙд, где fep - коэффициент передачи редуктора совместно с карданным подвесом.

Переходя к изображениям, получаем (Тдр-М)йд(р)=йд[/у (р), р8(р)=/грОд(р),.откуда находим передаточную функцию объекта управления системы АСН, определяемую отношением изображения угла поворота антенны к изображению управляющего напряжения:!

W (n)=-ii- i ovW Uy(p)-р(\ + трУ

Таким образом, объект управления системы АСН - устройство управления положением диаграммы направленности, как динамическое звено автоматической системы, является инерционным интегрирующим звеном.

Глава 2

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ

§ 2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Критерии устойчивости. Понятие устойчивости замкнутых автоматических систем было рассмотрено в § 1.3. Там же было показано, что устойчивой является та автоматическая система, у которой все корни характеристического уравнения (1.12), соответствующего дифференциальному уравнению (1.7) этой системы, имеют отрицательные вещественные части.

Если корни характеристического уравнения изобразить в виде точек на комплексной плоскости, как показано на рис. 2.1, где на оси абсцисс откладывают значение вещественной части корня, а на оси ординат - значение мнимой части, то устойчивая система может быть определена как система, все корни характеристического уравнения 0 которой лежат в левой полуплоскости (т. е. имеют i отрицательные вещественные части). Таким образом, I исследование устойчивости замкнутой автоматичес-i кой системы связано с необходимостью решения ал-

i-- гебраического уравнения, степень которого опреде-

\ ляется порядком дифференциального уравнения си- схемы.

д \ Однако выражения для корней алгебраического

уравнения являются достаточно простыми лишь для Рис. 2.1 уравнений не выше второй степени. Для уравнения третьей или четвертой степени они в силу их сложности практически не пригодны для анализа устойчивости автоматической системы, а корни уравнения выше четвертой степени в общем виде получены быть не могут. В связи с этим были разработаны критерии (признаки) устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней. Кроме того, указанные критерии позволяют не только ответить на вопрос, устойчива система или нет, но, что гораздо важнее, и осуществить выбор некоторых параметров системы, обеспечивающий ее устойчивость, т. е. решить в какой-то мере задачу синтеза.

Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (1.12) (при положительном коэффициенте По при старшей степени). Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Ограничиваясь для простоты случаем отрицательных вещественных корней, предстагим левую часть алгебраического уравнения (1.12) в

виде

а,р Л-ap - .. +а,-гР + а = а {р - Рг){р-р2}- ip - Pn) =

= а,{р + а,) {р + а)... (р + (2.1)

где р-а (aft>0) ~ корни этого уравнения, k=l,n.

Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р в левой и правой частях равенства (2.1), убеждаемся, что при отрицательных корнях р, характеристического уравнения (1.12) все коэффициенты этого уравнения положительны (при ао>

3 Заметим, что для уравнении первого и второго порядков полученное условие устойчивости является не только необходимым, но и достаточным, в чем нетрудно убедиться прямым вычислением корней уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Гурвицг относится к числу алгебраических критериев, т. е. критериев, сформулированных в виде некоторых алгебраических формул. Критерий Гурвица приведем без доказательства. Составим из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой автоматической системы (1.12) квадратную матрицу, пользуясь следующим правилом.

По главной диагонали матрицы записывают коэффициенты уравнения от до а . Затем каждый столбец матрицы заполняют коэффициентами этого же уравнения: вверх - в порядке возрастания индекса коэффициентов, вниз - в порядке убывания. В тех местах каждого столбца, где индекс оказывается отрицательным или превышает п, записывают нуль. Таким образом, матрица имеет вид

(2.2)

Затем из элементов этой матрицы, расположенных симметрично относительно главной диагонали, составляют определители Гурвица:

1 3 а, Ua 2 О а, а, а, а, ао 2 О из

О О О

О О О

ООО ООО

Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1.12) необходимо