Запишем (1.32) с учетом (1.35) в виде

лге* = Л (со) е/* схе/*

Х2п XI,I

qI - А (ш) е* (,

откуда находим

x,Jx ,A{(o), Аг; = г(),~г;,=г;(ш). (1.37)

Из (1.37) видно, что амплитуда хт выходных колебаний системы при неизменной амплитуде входных зависит от частоты этих колебаний. Отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных, как функция частоты, определяете модулеУ ч стотной передаточной функции системы Л (ш). Фазовый сдвиг Аг) между выходными и входными колебаниями, как следует из (1.37), также зависит от частоты этих колебаний и, как функция частоты, определяется аргументом частотной передаточной функции системы i5(co).

Таким образом, частотная передаточная функция динамической системы полностью определяет прохождение гармонического колебания через эту систему.

В случае произвольного (не гармонического) входного воздействия xj{t) частотная передаточная функция системы равна отношению изображений по Фурье выходной и входной величин этой системы. Действительно, подвергнем преобразованию Фурье левую и правую части уравнения (1.3). При этом преобразования с)урье входной и выходной функций системы определяют комплексные спектры этих функций. Если обозначить через Xi(/co) и ХЦа) соответственно спектры функций xi (t) и x2{t), то

X, (/ш) = F [x, it)] = \ (t) е-/ dt, X, (/ш) =

- аз

= Flx,{t)]= 5 x,(/)e-/ d

- 00

где F - оператор преобразования Фурье.

При этом предполагаем, что функции xi{t) и (О абсолютно инте-

00 со

грируемы, т. е. интегралы \x-{t)\dt и [ {х{t) \ dt существуют и

- X - 00

имеют конечные значения.

Учитывая, что для всякой абсолютно интегрируемой функции x{t) имеет место равенство

F[xt)]==ijai)F [x{t)], и подвергнув преобразованию Фурье уравнение (1.3), получим

.V м

Х,(/Ш) 2 7V-ft , (Н S Ьл1 ,(/ш),

ft = о 1=0

откуда

Х,(/со) = Г(/со)Х,(/со), (1.38)

где W(j(o) совпадает с (1.33). Заметим, что формально выражение (1.38) может быть получено из (1.15) подстановкой /?==/©.

Пример 1.4. Найдем установившееся движение системы по условиям примера 1.1, используя частотную передаточную функцию. Подстановюй p=j(£) находим

Тогда для вход здействт {t) = XimSir t, полагая ---Q, получ -т отсюда

(О ХгА (Q) Sin [Qt+i, (Q)] ii sin (Q-arotg QT).

Таким образом, установившийся процесс на выходе линейной системы при гармоническом входном воздействии наиболее просто определить при использовании ее частотной передаточной функции.

Использование логарифмических частотных характеристик. Метод построения логарифмических частотных характеристик состоит в том, что амплитудная и фазовая частотные характеристики исследуемой динамической системы изображают графически в виде непрерывных кривых, причем строят эти кривые в логарифмическом масштабе. Поэтому они называются: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). Кроме того, логарифмическую амплитудную характеристику строят приближенно в виде отдельных прямолинейных отрезков, называемых асимптотами ЛАХ, что существенно упрощает построение этой характеристики. Такую ЛАХ называют асимптотической.

Для некоторого достаточно широкого и важного класса систем при использовании метода логарифмических частотных характеристик оказывается возможным ограничиться построением ЛАХ без построения ЛФЧХ, так как для систем этого класса между амплитудной и фазовой частотными характеристиками имеется однозначная связь, благодаря которой амплитудная частотная характеристика системы содержит исчерпывающую информацию о свойствах этой системы. Это так называемые минимально-фазовые системы и звенья. Минимально-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у которой корни характеристических уравнений, соответствующих числителю и знаменателю передаточной функции этой системы, имеют отрицательные вещественные части.

Благодаря простоте построения логарифмических частотных характеристик использование их оказывается эффективным при решении многих практических задач. В настоящее время метод логарифмических частотных характеристик всесторонне разработан и относится к числу основных методов анализа и синтеза линейных автоматических систем как непрерывного, так и дискретного действия.

S* Зак. 661 35

Пусть W(/co)=(cu) ехр [/t3(со)] - частотная передаточная функция исследуемой динамической системы. Выражение для логарифмической амплитудной характеристики L(tt)), выраженной в Дб, записывают в виде

L(M) = 201g (ш). (1.39)

При построении этой кривой частоту ш откладывают по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Значения функции L(ft)) откладывают по оси ординат в децибелах в линейном масштабе.

Логарифмическую фазовую характеристику строят в соответствии с (1.36). При этом частоту ш также откладывают по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, а значения фазы V() - оси ординат в градусах в линейном масштабе.

Способ построения асимптотической ЛАХ рассмотрим на конкретном примере. Пусть передаточная функция динамической системы имеет вид

Нумерацию постоянных времени в выражении передаточной функции всегда производят в порядке убывания их числовых значений, т. е. ТТТз. . . В (1.40) примем строгие неравенства Tj> >Tc>Ts, тогда

W(/co) =

ffl2

Ml / V Ms

где (й=1/Ти; k=\, 2, 3, причем оз1<оз<щ.

Величины Wjj, обратные постоянным времени динамической системы, называют сопрягающими частотами этой системы.

Коэффициент передачи системы Ki имеет в данном случае размерность круговой частоты рад-с или просто с . Таким образом, частотная передаточная функция W(/ft)) - безразмерная функция частоты ш.

В соответствии с (1.35) имеем

Н = ~-2- arctg - + arctg--arctg - .

(1.42)

Логарифмируя (1.41), получаем

L (ы) = 20 Ig Л (ш) = 20 Ig - 20 IgV 1 + +

-Ь 20 Ig)/1 + (ш/ш,)-20 Ig 1 + {(о/щу. (1.43)

При построении асимптотической ЛАХ пользуются следующим правилом. В выражении j/l-f (ы/ш для всех значений шш пре-