Чтобы проанализировать явление математически, воспользуемся опять теми же основными ур-ниями (2.44) и (2.45)

П-f-O

Если на конце включено сопротивление г, то отношение напряжения то К току /то будет

= Г. (2.63)

Рассмотрим сначала случай, когда

г<9.

Тогда величина -а также величина (у - 1 являются положитель йыми величинами.

Подставив в ур-ния (2.44) и (2.45) значения /то и Ято, выраженные через посредство г, легко приведем ур-ния (2.44) и (2,45) к виду:

4 = Ето[(-1)( -) + П].

(2.64) (2.65)

В этой формуле легко видеть, что в линии имеются две системы волн. Стоячая волна (П--0) тока с амплитудой /mo(l-и стоячая волна (П - О)

напряжения с амплитудой Ято (j:-. При этом отраженная волна напряжения имеет знак минус, т. е. отражение происходит с потерей фазы 180°. Следовательно, у сопротивления г слагающая стоячей волны напряжения равна нулю. Иными словами, здесь располагается пучность тока и узел напряжения. Все, что было сказано относительно стоячих волн, относится к этой системе волн.

Кроме стоячих волн имеются бегущие волны, выражаемые вторыми членами скобочного выражения.

Бегущая волна тока имеет амплитуду 1то~~ у а бегущая волна напряжения- амплитуду Ято, т. е. все напряжение у сопротивления г образовано только бегущей волной.

Теперь рассмотрим случай />р; тогда -О - г ) У-У положительными величинами.

Ур-ния (2.44) и (2.45) примут вид

1х - /то

П -О

E. = Emo[(llf)() + n-fl

(2.66) (2.67)

Теперь при х = 0 ток стоячей волны у сопротивления г равен нулю, так как П - О равно нулю. Весь ток, текущий в сопротивлении г, образуется бегущей волной тока, представленной в ур-нии (2.66) слагаемым Imo-Амплитуда тока в сопротивлении равна /то- Амплитуда бегущей волны напряжения равна Ятоу; она меньше, чем напряжение Ято у зажимов сопротивления г.

§ 13. Замечание о других случаях нагрузки линии.

Другие случаи нагрузки лцний, когда на конце ее величины чисто реактивные или комплексные сопротивления, могут быть рассмотрены тем же способом, путем подстановки в исходные ур-ния (2.44) и (2.45) значений;

то -

Ze Ето /то 0-

В результате получим в случае реактивной нагрузки, что ток и напряжение распределяются вдоль линии по тому же закону, как и в случае короткого замыкания на конце или в случае разрыва на конце, но максимумы и минимумы тока и напряжения переместятся на расстояние 4 волны вдоль проводов. При комплексной нагрузке в линии будут существовать и бегущая и стоячие -волны, и разница по сравнению с чисто активной нагрузкой сведется опять-таки только к тому, что все узлы и пучности переместятся на одинаковое расстояние к концу линии или к началу линии.

§ 14. Комплексное сопротивление линии без потерь.

Посмотрим теперь, какое сопротивление представляет линия, коротко-замкнутая на конце, если ее обрезать на расстоянии I от конца и измерить сопротивление между проводами в точке обреза.

Для этого случая мы имели:

/;.= /moe cos(mx), (2.68)

Ёх = торе sin (тх). (2,69)

Сопротивление в любой точке на расстоянии х от конца будет

Из ур-ний (2.68) и (2.69; находим

Z = /ptg(mx)

или, заменяя х на I,

Z = jptg(ml). (2.70)

Теперь сделаем еще следующую замену. Как известно,

ш = О) j/ LiCi = .

С другой стороны, выше было дано определение длины волны и показано, что эта длина в воздушной линии связана с частотой соотношением

Поэтому

т = .

Подставив это в выражение для сопротивления (2.70), получим

Z-/ptg(/). (2.71)

Это выражение представляет собой чрезвычайно важный и интересный результат.

Оно показывает, что линия без потерь представляет собой чисто мнимое, т. е. реактивное сопротивление.

Это сопротивление положительно, т. е. представляет собою самоиндукцию в том случае, когда tg (t- положителен. Это имеет место, например, когда угол лежит в первой четверти, т. е. больше нуля, но меньше J, т. е. при условии

-Г<Т или /<.

Следовательно, если длина линии без потерь, короткозамкнутой на конце, меньше четверти длины волны, то эта линия является самоиндукцией.

Численная величина коэфициента самоиндукции определяется из ур-ния (2.71) следующим образом.

Пишем

Z = /.L = /ptg(0.

Следовательно,

= VPtg(0 = l< g(/). (2.73)

Когда длина участка линии равна четверти волны, коэфициент самоиндукции становится равным бесконечности.

Если удлинить линию дальше, tgz) станет отрицательным и сопротивление сделается емкостным.

Если таким же образом рассмотреть линию, разомкнутую на конце, найдем, что она представляет собой эквивалент чистой емкости при длине меньше четверфи волны. Она становится эквивалентом чистой самоиндукции, как только длина ее больше четверти волны, но меньше половины волны. Далее она опять ведет себя как емкость и т. д.

Общее выражение для емкости аналогично такому же для самоиндукции

Если ур-ние (2.74) дает отрицательное значение емкости, то значит линия ведет себя как самоиндукция.

§ 15. Сосредоточенные емкости и самоиндукции, как участки двухпроводной линии.

Важные результаты, которые были получены в предыдущем параграфе, позволяют подойти с более общей точки зрения к конденсаторам и катушкам самоиндукции.

В частности мы можем сделать теперь вполне обоснованно следующие выводы.

1) Всякий конденсатор, в том числе, например, конденсатор из двух пластин, представляет собой короткую двухпроводную линию. Его вол-

новое сопротивление р очень мало (так как отношение мало). Он представляет собой емкость, пока его длина I меньше четверти длины волны. Если / больше четверти волны, - конденсатор превра-