Подставив в ур-ние (2.25) значение ~ из ур-ния (2.24), а в ур-ние

(2.26) значение из ур-ния (2.23), получим:

= (2.27)

- = o,LiCiL (2.28)

Ур-ния (2.27) и (2.28) показывают, что Ех и 1х должны представлять собой такие функции, чтобы их вторые частные производные по х равнялись бы самим функциям, умноженным на (wL/G), взятым с обратным знаком.

Как известно, такими функциями могут быть синусоидальные или ко-синусоидальные функции.

Диференцируя дважды следующие выражения, легко убедиться, что они удовлетворяют ур-ниям (2.27) и (2.28), т. е. представляют собой реще-ние этих уравнений (пока в общем виде):

= sin (тх) + Дз cos (шх), (2.29)

Ех == Bi sin (тх) + cos (тх), (2.30)

причем буквами А, В, А, В обозначены величины, не зависящие от х, а буквой т обозначено для сокращения произведение

т = iiCdi (2.31)

Для того чтобы придать этому решению конкретный характер, надо определить, чему равняются постоянные Ai, В, А, и В. Для этого поступим следующим образом. Обозначим ток и напряжение на конце линии

у сопротивления (т. е. при х = 0) через Iq и Е . Подставив в ур-ния (2.29) и (2.30) вместо х нуль, получим:

/о==/о = А2, (2.32)

Ех=.о = Eq== В. (2.33)

Для определения А и В продиференцируем ур-ния (2.29) и (2.30) еще раз:

= Ат cos (тх) - Ат sin (тх), (2.34)

= Вт cos (тх) - Вт sin (тх). (2.35)

Подставим теперь сюда значения ~ и из ур-ний (2.24) и (2.23),

причем положим снова х=0, т. е. sin(mx) = 0; cos(mx) = l; h-hi Ex = Eq.

Это даст нам следующие два соотношения:

/(оС/Ео = Л/п, <2.36)

jioLiI.Bm, (2.37)

которые и определяют Aj и В.

Подставив найденные значения в ур-ния (2.34) и (2.35), и обозначив

получим следующее выражение, которое представляет собой решение ур-ний (2.23) и (2.24) для рассматриваемого случая:

/х = /о COS (тх) + / sin (тх), Ех = Eq cos (тх) -f /р/о sin (тх).

(2.38) (2.39)

Таким образом Значения 1х и Ёх определяются в зависимости от параметров линии Ci п Li и от значений тока и напряжения в конце участка, где включено сопротивление Zq. Если это сопротивление задано, то этим

определено отношение между Eq и Iq, так как Ио закону Ома

7 0

0--г~

Давая Zq различные значения, мы и получим различные явления в линии, часть которых мы уже установили путем чисто физического рассуждения.

Дальнейшее исследование ур-ний (2.38) и (2.39) можно было бы вести непосредственно в тригонометрической форме, как они написаны. Однако с целью простоты и наглядности мы перейдем к комплексной форме записи для чего заменим косинус и синус их выражениями через неперово число

а взамен Eq и Iq напишем ЕтаО и /то е причем Ето и вообще могут быть комплексными амплитудами (чем учитывается сдвиг фазы между

Eq и Iq), но в нашем исследовании мы сможем ограничиться случаем, когда эти величины выражены действительными числами.

Произведя указанную замену, получим из ур-ний (2.38) и (2.39)

g/ (Ы+тх) g7 {uit-mxy

Р L

g/ (iiit-j-mx g/ (oif-mx)

g/ {Ы+тх) g/ Ы-тх)

q/ (uji-hmx) gy (tot-mx)

(2.40)

(2.41)

Каждое из слагаемых, стоящих в прямых скобках, т. е. каждое выражение

+ тх)

согласно § 2 можно написать в виде еХ* - ), где с - скорость движения волны. Сопоставляя оба эти выражения, легко видеть, что

откуда

Отсюда видно, что скорость движения волны равна YLiCi и в воздухе соответствует скорости света.

Итак, и ток и напряжение представляются в виде совокупности четырех волн.

Выражение

Qj( + mx) (2.42)

показывает, что волна движется от источника к нагрузке. Эта волна называется прямой волной . (Напомним, что координата х отсчитывается от нагрузки.)

Выражение

QJM-mx) (2.43)

показывает, что волна движется от нагрузки в сторону источника. Эта волна называется отраженной волной .

Чтобы не писать в дальнейшем громоздких выражений, мы обозначим выражение (2.42) буквой П, а выражение (2.43)-буквой О. Эти буквы выбраны для удобства запоминания, так как они являются начальными буквами слов прямая и отраженная .

Ур-ния (2.40) и (2.41) перепишутся тогда так:

п + о

Ех = Е

П--0

+ то?

Р L 2

(2.44) (2.45)

При помощи этих уравнений рассмотрим различные случаи нагрузкилинии.

§ 9. Случай, когда линия замкнута на активное сопротивление, равное волновому сопротивлению.

Положим, что нагрузочное сопротивление Zq равно волновому сопротивлению /

Тогда (фиг. 2.6)

Ето~1тйо~1то9 (2.46)

Фиг. 2.6.

Подставив это в основные уравнения (записанные сокращенно) (2.44) и (2.45), найдем сначала:

n-fo

П + О

Р L

(2.47) (2.48)

А так как - = 1,

h = /то П Ех = Ето

(2.49)

Ур-ние (2.49) показывает, что осталась только одна прямая волна, в которой ток и напряжение находятся в фазе. Такая волна называется бегущей волной . Чтобы получить ее, мы должны, следовательно, включить