§ 6. Физическое объяснение явления стоячих волн.

Физическую картину возникновения стоячих волн можно пояснить следующим образом.

На фиг. 2.3 вверху показаны три пары горизонтальных линий А, В vlS.

Эти линии изображают некоторый участок проводов, вдоль которых распространяется волна. При этом А, В w S изображают одну и ту >Ке двухпроводную линию и начерчены порознь для того, чтобы нагляднее выделить волну, движущуюся вправо (Л), волну, движущуюся влево {В) и сумму их (5).

Вертикальные черточки со стрелками отмечают места максимума электрического поля волны в данный момент. Расстояние между двумя соседними черточками равно поэтому полуволне.

суммд Обеих волн

лолитеиие через ~ период я тех те волн

В, ©-Н:

ВОЛНЯ пвитется вп(яво

Е, ЬЕ,

0 Н,

© Н:

волнй движтся влево

Е-гЕ, IE--2E, [Е-гЕ,

Н-0 н

с%ммя овеих волн

Фиг . 2.3.

В системе А, как это показано наверху стрелкой, волны движутся вправо. Следовательно, и черточки, изображающие максимум поля, движутся вправо. В системе В это движение происходит влево и соответствует встречной волне.

Рядом с черточкой, отмечающей электрическое поле в максимуме, стоит кружок, который показывает направление магнитной силовой линии в этом же месте. Точка в кружке обозначает, что линия идет из-за чертежа на наблюдателя, а крест-что она уходит за чертеж.

Направление линии легко получить, пользуясь правилом штопора.

Так как картина А и В имеет место в рассматриваемый момент в одной и той же двухпроводной линии, то поля обеих волн складываются, и результат этого сложения показан в строчке 5. Он сводится к тому, что электрическое поле обеих волн взаимно уничтожилось, в то время, как магнитное - взаимно усилилось.

Легко сообразить, что это будет иметь место не только в точках максимальной силы поля, но и во всех остальных. Разница будет только в том, что поле в остальных точках будет слабее.

в результате вдоль двухпроводной линии в данный момент, соответствующий фиг. 2.3, существует только магнитное поле, сила которого синусоидально изменяется вдоль оси линии.

Нижняя часть того же чертежа (Aj, Bj, S) показывает расположение обеих волн через /4 периода, т. е. после того, как волны одной системы переместились вправо на четверть длины волны, а волны другой системы настолько же переместились влево.

Легко видеть, что теперь магнитное поле исчезло, а осталось только электрическое, максимумы которого располагаются в промежутках между теми точками, в которых раньше были максимумы магнитного поля.

При дальнейшем движении волн снова исчезает электрическое и появляется магнитное поле на прежних местах, но с обратным знаком и т. д.

Таким образом в стоячей волне и магнитное и электрическое поле изменяются синусоидально как во вреГмени, так и вдоль оси линии проводов; оба эти поля в обоих смыслах сдвинуты одно относительно другого на 90°.

§ 7. Получение бегущих и стоячих волн в реальных условиях.

Для того чтобы получить бегущую волну в действительности, вовсе нет надобности делать линию бесконечной длины. Достаточно сделать так, чтобы энергия, достигнув конца линии, была бы нацело поглощена здесь омическим сопротивлением.

Средняя за период энергия, отбираемая от источника (т. е. мощность), равна

Р=:Г., (2.20)

а так как

Р=-2-- (2.21)

Если в конце линии включить сопротивление

то при амплитуде напряжения Ет в нем поглотится та же самая энергия

Поэтому в этом случае энергия будет непрерывно двигаться от источника Ё (фиг. 2,4) вдоль линии к q

потребителю R. , >

В линии будет бегущая волна. £ < R ~л/

Наоборот, если энергия на >

конце вовсе не потребляется, т. е. О

линия или замкнута накоротко или Фиг. 2.4.

разомкнута,-энергия не будет

израсходована и отразится обратно, образуя вторую (отраженную) систему волн в линии.

В этом случае появятся стоячие волны.

Наконец, заметим, что подсчет мощности, переносимой бегущей волной в виде электрического и магнитного поля, показывает, что эта мощность в среднем за период в точности равна величине

(2.22)

т. е. вся энергия, даваемая источником, переносится только в форме электромагнитного поля. Это положение справедливо для всех случаев передачи электрической энергии.

Как бы ни была сложна действительная обстановка передачи энергии, эта передача всегда происходит только по диэлектрику. Провода играют роль только направляющего канала.

§ 8. Основные уравнения линии без потерь.

Обратимся теперь явлений. Положим, что в начале линии

--dx--jr--

x+dx

Фиг. 2.5

К математическому исследованию рассмотренных (фиг. 2.5) приложено некоторое синусоидальное напряжение, а на конце линия замкнута на сопротивление Zfj.

Мы будем рассматривать установившийся режим, при котором во всех точках линии и ток и напряжение будут синусоидальны. Возьмем на произвольном расстоянии x от точки Zq уравнения, которые выражают

участок йх и напишем для этого участка собой следующие два факта.

а) Если на расстоянии х от Zq существует между проводами некоторое

напряжение Ех, то на расстоянии (х -f- dx) будет существовать некоторое

другое напряжение (Яд;--Ялг),-причем разность этих напряжений уравновешивается эдс самоиндукции на участке линии ах. Это записывается так

-§ = i<-L,Ix. (2.23)

б) Если вдоль проводов на расстоянии dx ток изменился на величину

dix, то это изменение тока проводимости должно быть компенсировано равным изменением тока смещения. Иными словами, ток в проводах мог уменьшиться или увеличиться только за счет ответвления части тока в емкость между проводами.

Это записывается так

djx дх

hCiEx.

(2.24)

Ур-ния (2.23) и (2.24) представляют собой систему уравнений, связывающую значения Е и J в точке х. Это диференциальные уравнения, так как в них входят частные производные по х от Ех и 1х.

Для решения их прежде всего разделим переменные, т. е. составим новые уравнения, в каждое из которых будет входить производная только от одной переменной.

Для этого сначала продиференцируем эти уравнения вторично. Найдем:

hLi, (2.25)

= /шС,

дЕх дх

(2.26)