рядом. Для того чтобы V было векторным пространством, эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам.

1. V представляет собой абелеву группу относительно операции сложения векторов.

2. (Дистрибутивный закон.) Для любых векторов Vj, va и любого скаляра с

о (Vl + Vj) = CVi + CVj.

3. (Дистрибутивный закон.) Для любого вектора v и любых скаляров Cl и Cj выполняется 1-v = v и

(Ci + Са) V = CiV + cv.

4. (Ассоциативный закон.) Для любого вектора v и любых скаляров Cl и Cs

(с,с,) V = Cl (CjV). Нулевой элемент из V называется натлом координат и обозначается через 0. Отметим, что мы использовали символ + двумя различными способами: для векторного сложения и для сложения в поле. Отметим также, что мы использовали символ О для обозначения нулевого элемента поля и символ О для обозначения начала координат векторного пространства. Это неопределенность практически не приводит к недоразумениям.

Подмножество векторного пространства называется векторным подпространством, если оно само является векторным пространством относительно исходных операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр. Относительно сложения векторов векторное пространство является группой, а векторное продпро-странство - подгруппой. Для того чтобы проверить, является ли непустое подмножество векторного пространства подпространством, необходимо проверить только замкнутость подмножества относительно сложения векторов и умножения векторов на скаляр. Замкнутость относительно умножения на скаляр гарантирует принадлежность подмножеству нулевого вектора. Все остальные требуемые свойства наследуются из исходного пространства.

Векторное пространство -последовательностей над F обозначается через В этом пространстве сложение векторов и умножение вектора на скаляр определены покомпонентно. В F имеется еще одна операция, называемая покомпонентным произведением двух векторов. Если и = (а , ai. a i) и v = (b , bi, b j), TO покомпонентное произведение определяется равенством uv = (аф, aibi, a ,i) i). Оно представляет собой вектор, компоненты которого получаются в результате перемножения компонент векторов и и v.

Скалярным произведением двух п-последовательностей из f называется скаляр, определяемый равенством

и V = (Оо.....а j) {b,.....b .i) = аЛ + ... + a .ift j.

Немедленно проверяется, что ау = va, {cu)-v = c{u-v) и что также W-(и + v) = (w-u) + (W.v). Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то векторы называются ортогональными. Над некоторыми полями возможна ортогональность ненулевых векторов самим себе, но это невозможйо над полем вещественных чисел. Вектор, ортогональный к каждому вектору из данного множества, называется ортогональ1ым к этому множеству.

Теорема 2.4.1. Пусть V - векторное пространство п-после-довательностей над полем F, содержащее подпространство W. Множество векторов, ортогональных к W, само образует подпространство.

Доказательство. Пусть U обозначает множество всех векторов, ортогональных к W. У не пусто, так как О принадлежит U. Пусть W - произвольный вектор из IF, а ui и щ - некоторые векторы из и. Тогда iv-Uj = w. Uj = О и

, WUi+WUj = 0 = W-(Ui + Uj),

так что Ui -f Uj также вектор из U. Далее, w- (cu,) = с (w- Ui) = О, так что cui также вектор из U. Следовательно, U является подпространством. □

Множество всех векторов, ортогональных к подпространству W, называется ортогональны дополнением подпространства W и обозначается через WJ-. В векторном пространстве R всех п-по-следовательностей над полем вещественных чисел пересечение подпространств W и содержит только нулевой вектор; ио в векторном пространстве над GF (i?) подпространство ifJ- может иметь нетривиальное пересечение с W или может даже лежать в W, содержать W и совпадать с W. Например, подпространство из двух векторов (00) и (11) пространства ОЯ (2) является своим ортогональным дополнением.

В векторном пространстве V сумма вида

и = ajv, + ajVj + ... + QjVj, где о, - скаляры, называется линейной комбинацией векторов Vi, Vj, vj. Говорят, что множество векторов порождает линейное пространство, если каждый вектор этого пространства представим в виде некой линейной комбинации векторов из этого множества. Тогда говорят также, что такое линейное пространство натянуто на это множество векторов. Линейное пространство, которое натянуто на конечное множество векторов, называется конечномерным векторным пространством. Число векторов в наименьшем множестве, порождающем некое пространство, называется размерностью этого пространства. Пространство л-последовательно-стей над F дает пример конечномерного векторного пространства размерности п.

Множество векторов jvi, Vg, v} называется линейно зависимым, если существует множество скаляров \ai, a[, не все из которых равны, таких что

uiVi + aVa + . . . + uftVb = 0. Множество векторов, не являющееся линейно зависимым, называется линейно независимым. Ни один вектор из линейно независимого множества не может быть представлен как линейная комбинация остальных. Заметим, что нулевой вектор О не может принадлежать линейно независимому множеству; каждое множество, содержащее О, является линейно зависимым. Множество из k линейно независимых векторов, порождающих линейное пространство, называется базисом этого пространства.

2.5. Матричная алгебра

Методы матричной алгебры обычно изучаются только для полей вещественных и комплексных чисел, хотя большинство операций справедливо в произвольном поле (а иногда даже в произвольном кольце).

Определение 2.5.1. {пх т)-матрицей А над полем F называется прямоугольная таблица, состоящая из п строк и т столбцов и содержащая пт элементов из поля F:

Если п = т, то матрица А называется квадратной. Две {лх т)-матрицы А и В над- полем F можно складывать по правилу

Всякую (лХ/п)-матрицу А можно умножить на элемент Р поля

по правилу

I = А

Pull Pai2

LPa i Рй , ... ра Всякую {/х л)-матрицу А можно умножить на (пХ т)-матрицу В, получив в результате (;хт)-матрицу С по правилу

i = 1.....I,

СцщФн,. .....

Множество элементов а для которых номер строки совпадает с номером столбца, называется главной диагональю, (яхп)-ма-трица, все элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные элементы ранцы нулю, называется единичной матрицей размера л и обозначается через I. Матрица, все элементы побочной диагонали {элементы, для индексов которых j = п -\-+ 1 - i) которой равны единице, а остальные элементы равны нулю, называется обменной матрицей и обозначается через J. Отметим, что = I. Примерами единичной и обменной матриц являются следующим (ЗхЗ)-матрицы:

Относительно введенного определения произведения и суммы матриц, как легко проверить, множество квадратных (лхл)-ма-триц образует кольцо. Это кольцо некоммутативно, но обладает единицей, а именно единичной (лхл)-матрицей.

Транспонированной к (лхт)-матрице А называется (тхл)-ма-трица А, такая что ajj = ац. Таким образом, строками матрицы А служат столбцы матрицы А, а столбцами матрицы А служат строки матрицы А. Легко проверить, что если С = АВ, то С = ВА.

Обратной к квадратной матрице А, если таковая существует, называется квадратная матрица А % такая что А А = АА = = I. Как нетрудно проверить, множество всех обратимых квадратных (пхл)-матриц относительно операции умножения образует группу. Следовательно, если матрица имеет обратную, то обратная единственна, так как в силу теоремы 2.1.2 это свойство выполняется в каждой группе. Матрица, имеющая обратную называется невырожденной; в противном случае матрица назы вается вырожденной. Пусть С = АВ. Как следует из п. (iii) тео ремы 2.2.5, если хотя бы у одной из матриц А или В нет обрат ной, то и у матрицы С нет обратной. Если матрицы А и В обра тимы, то C- = B--, так как (B--) С = 1 = С (В-А )

Определение 2.5.2. Пусть поле F задано. Для каждого л опре делитель квадратной (лх л)-матрицы А равен величине det (А) являющейся функцией из множества всех (лхл)-матриц над F в поле F. Функция det (А) задается формулой

det(A)= Е .../ Чиог,

а .

где ii, га, гп - перестановка на множестве целых чисел {1, 2, л[; It i равно -fl, если перестановка содержит четное число транспозиций, и -1 в противном случае, а сумми-

рование ведется по всем перестановкам. Транспозицией называется перестановка двух членов.

Если матрица А получается из матрицы А перестановкой двух строк, то каждую перестановку строк матрицы А, получаемую в результате четного (нечетного) числа транспозиций, можно рассматривать как соответствующую перестановку строк матрицы А. Отсюда следует, что при перестановке любых двух строк матрицы знак определителя меняется на противоположный. Аналогичные рассуждения показывают, что если две строки матрицы равны, то определитель равен нулю.

Следующая теорема, приводимая без доказательства, содержит вытекающие непосредственно из определения 2.5.2 свойства определителя.

Теорема 2.5.3. (i) Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

(ii) Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

(Ш) Если две строки квадратной матрицы поменять местами, то определитель поменяет знак.

(iv) Если две строки равны, то определитель равен нулю.

(v) Если все элементы одной строки матрицы умножить на элемент поля с, то определитель новой матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на с.

(vi) Если матрицы А В отличаются только 1-й строкой то сумма их определителей равна определителю матрицы С /-я строка которой равна сумме i-x строк матриц А и В, а осталь ные строки равны соответствующим строкам матрицы А или В

(vii) Если к элементам некоторой строки матрицы к раз при бавить соответствующие элементы некоторой другой ее строки то определитель матрицы не изменится.

(viii) Определитель матрицы отличен от нуля тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы.

Если в квадратной матрице удалить строку и столбец, содержащие элемент a,j, то определитель оставшейся квадратной таблицы размера л - 1 называется минором элемента ац и обозначается через М,). Алгебраическое дополнение, обозначаемое здесь через Cij, определяется равенством

Сц = (-l)+ ,j.

Из способа задания определителя матрицы следует, что алгебраическое дополнение элемента aj является коэффициентом при a,j в разложении определителя:

det(A)= S а,яСц.

Это известная формула Лапласа для разложения определителей. Формула разложения Лапласа лежит в основе рекуррентного способа вычисления определителей. Она дает выражение определителя (пХп)-;1атрицы через определители ((п- 1)х(л- 1))-матриц.

Если flij заменить на Uj, то получит*! сумма ОдСц,

равная определителю новой матрицы, полученной из старой заменой элементов i-й строки элементами /-Й строки; этот определитель равен нулю, если / Ф i. Таким образом,

det (А), i ф /, i=i I О \.ф\.

Поэтому если det (А) ф О, то матрица А имеет обратную, равную

det (А)

Если det (А) = О, то обратной матрицы не существует. Матрицу можно разбить на блоки по правилу:

где Ац. Ац, Аи и Ajj - меньшие матрицы, размеры которых очевидным образом дополняют друг друга до размеров исходной матрицы А. А именно, число строк матрицы Ац (или Аи) плюс число строк матрицы А21 (или Ajz) равно числу строк матрицы А; аналогичное утверждение выполняется для числа столбцов. Матрицы можно перемножать поблочно. А именно, если

и С = АВ, то

Ai,b + аЖ : а,в Г1

а в,;

при условии, что все размеры блоков выбраны корректно в том смысле, что все матричные произведения и суммы определены. Такое разложение может быть выведено как простое следствие аксиом ассоциативности и дистрибутивности основного поля.

Определение 2.5.4. Пусть А = [а;) и В = [bj, 1 - матрицы соответственно размеров /х/( и Ух1. Тота кронекеровски.ч про-