этого элемента: h, h?, h, h, .... Так как группа G конечна, то элемент последовательности обязательно начнет повторяться. Первым должен повториться сам элемент h, а непосредственно предшествующий ему элемент является единичным элементом группы, так как рассматриваемая конструкция дает циклическую группу. Множество И называется циклической подгруппой, порожденной элементом Л. Число q элементов в подгруппе Я удовлетворяет равенству Л = I и называется порядком элемента

Л. Множество эле.чентов Л, h, h..... h = 1 называется циклом

в группе G.

Для того чтобы доказать, что непустое подмножество Н является подгруппой в G, достаточно только проверить, что вместе с элементами а и ft из Н множеству Н принадлежит элемент а*Ь, и что обратный к произвольному элементу а из W также принадлежит Н. Остальные требуемые групповые свойства наследуются из группы О. Если группа конечна, то, как мы увидим позже при рассмотрении циклических подгрупп, даже свойство обратимости выполняется автоматически.

Для заданных конечной группы G и подгруппы Я имеется важная конструкция, иллюстрирующая определенную взаимосвязь между G и Я и известная под названием разложения группы G на смежные классы по подгруппе Н. Обозначим через h, h h,. ... элементы из Я, причем через hi обозначим единичный элемент. Построим следующую таблицу: первая строка состоит из элементов подгруппы Я, причем первым слева выписан единичный элемент и каждый элемент из Я выписан в строке один и только один раз. Выберем произвольный элемент группы G, не содержащийся в первой строке. Назовем его и используем в качестве первого элемента второй строки. Остальные элементы второй строки теперь получаются умножением слева элементов подгруппы на этот первый элемент. Аналогично, строя стретью, четвертую и пятую строки, каждый раз выбирае.м не использованный на предыдущих шагах элемент группы G в качестве элементов первого столбца. Конец наступает, когда после некоторого шага оказывается, что все элементы группы записаны в некотором месте таблицы. Процесс оканчивается в силу конечности G. Таблица имеет следующий вид:

ftj = 1 h ... К

gt*K=g2 g-.h ... gi*h 8ъ*К = йз g2*lh g3*li

gmfllgm gm/lj ... g A

Первый элемент в каждой строке называется лидером смежного класса. Каждая строка таблицы называется левым смежным

Важнейшей циклической группой с q элементами является группа, обозначаемая /(д), или иногда 2, и задаваемая множеством

Z/(q)={0, }, 2,..., дЦ

со сложением по модулю q вкачестве групповой операции. Например,

z/(6) = 0, 1, 2.....5

и 3 + = 1-

Группа z/{q) может быть выбрана в качестве стандартного прототипа циклической группы с q элементами. На самом деле имеется только одна группа с д элементами; все остальные являются ее изоморфными копиями, различающимися обозначениями, но не структурой. Любую другую циклическую группу G с q элементами можно отобразить в z/(q) с заменой групповой операции в G сложением по модулю q. Любые свойства структуры в G справедливы в z/{q), и наоборот.

По заданным двум группам G и G можно построить новую группу G, которая называется произведением групп О и G и обозначается G = G X G . Элементами G служат пары элементов (а, а ), первый из которых принадлежит G, а второй-G . Групповая операция в произведении групп G определяется равенством

{а\ а )*{Ь, b ) = {a*b, a *b ). В этой формуле звездочка используется три раза в трех разных смыслах. В левой части равенства она обозначает групповую операцию в G, а в правой части -операции в группах G и G соответственно.

Например, X задается множеством

Z, X 2з = 1(0, 0), (О, 1), (О, 2), (1, 0), (1, 1). (1, 2).

Типичным элементом таблицы сложений в 2 X Zg является

(1, 2) +(0, 2) = (1, 1).

Отметим, что группа 2 х сама является циклической с образующим элементом (1, 1). Следовательно, X Z изоморфна группе Zg, Причина этого роется в том, что числа 2 и 3 не имеют общих целочисленных делителей.

Пусть G группа и И - подмножество в G. Тогда И называется подгруппой группы G, если Н само является группой относительно ограничения групповой операции на И. В качестве примера, в множеств целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) с операцией сложения множество четных чисел, так же как и множество чисел, кратных 3, образует подгруппу.

Один из способов построения подгруппы И конечной группы G состоит в том, чтобы, выбрав некоторый элемент h из G, формировать элементы множества Н в виде последовательных степеней

классом, а в случае абелевой группы просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы использовать вместо левого правое умножение на э.тементы группы Я, то строки называются правыми смежными классами. В силу указанных правил построения разложение группы на смежные классы всегда является прямоугольной таблицей, все строки которой полностью заполнены. Докажем теперь, что в этой таблице каждый элемент группы встречается точно один раз.

Теорема 2.1.3. В разложении группы на смежные классы каждый элемент группы встречается один и только один раз.

Доказательство. Каждый элемент появится ло крайней мере один раз, так как в противном случае процесс не остановится. Покажем теперь, что каждый элемент не может появиться дважды в одной и той же строке, а затем докажем, что один и тот же элемент не может появиться в двух разных строках таблицы.

Предположим, что два элемента в одной и той же строке, скажем gi*hj и gi*hk, равны. Тогда умножение каждого из них на gj дает равенство /х/ - hk- Это противоречит тому, что каждый элемент подгруппы выписан в первой строке только один раз.

Предположим, что два элемента из различных строк, скажем gi*hf и gk*hi, равны, и что k < i. Умножение справа на hj приводит к равенству gi = gk*h!*hj\ Тогда gi порождает k-Pi смежный класс, так как элемент hi*hj принадлежит подгруппе. Это противоречит выбранному выше правилу выбора лидеров смежных классов. □

Следствие 2.1.4. Если И - подгруппа группы G. то число элементов в Н делит число элементов в G. Таким образом,

(Порядок И) (Число смежных классов G по И) = (Порядок G).

Доказательство. Следует непосредственно из прямоугольности таблицы разложения на смежные классы. □

Теорема 2.1.5. Порядок конечной группы делится на порядок любого из ее э.ементов. Таким образом, а = 1 для любого элемента а группы G с q элементами.

Доказательство. Группа содержит циклическую подгруппу, порожденную любым из ее элементов, и, таким образом, доказательство теоремы вытекает из следствия 2.1,4.П

2.2. Кольца

Следующей необходимой нам алгебраической структурой является кольцо. Кольцо представляет собой абстрактное множество, которое является абелевой группой и наделено дополнительной операцией.

Слева. - Прим. перед.

Определение 2.2.1. Кольцом R называется множество с двумя определенными на нем операциями: первая называется сложением (обозначается плюсом); вторая называется умножением (обозначается записью сомножителей рядом), причем выполняются следующие аксиомы:

1. Относительно сложения (--) R является абелевой группой.

2. {Замкнутость.) Произведение аЬ принадлежит R для любых а а Ь ю R.

3. (Закон ассоциативности.)

а (be) = (ab) с.

4. (Закон дистрибутивности.)

а (Ь + с) = аЬ ас, (Ь -t с) а = Ьа + са.

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Ком.чутативное кольцо ~ это кольцо с коммутативным у.множением: аЬ = Ьа для всех а а Ь КЗ R. Дистрибутивный закон в определении кольца связывает операции сложения и умножения.

Важнейшими примерами колец являются кольцо Z целых чисел и кольцо Z/(g) целых чисел по модулю q. Мы уже видели, что они являются группами по сложению. Так как на этих множествах имеется также умножение с необходимыми свойствами, то они являются кольцами.

Несколько хорошо известных читателю по знакомым кольцам свойств могут быть выведены из аксиом следующим образом.

Теорема 2.2.2. Для произвольных элементов а и Ь из кольца R выполняются равенства

(i) аО = Оа = 0.

(ii) а (-Ь) = (-а) b = -ab.

Доказательство.

(i) аО = а (О + 0) = аО -Ь аО. Прибавляя к обеим частям равенства - аО, получим О = аО. Аналогично доказывается вторая половина п, (i).

(ii) О = аО = а (6 - 6) = а6 + а (-Ь). Следовательно,

а (-(,) = (аЬ). Аналогично доказывается вторая половина п, (ii). П

Относительно операции сложения кольцо содержит единицу, называемую нулем . Относительно операции умножения кольцо не обязательно имеет единицу, но если единица есть, то она единственна. Кольцо, обладающее единицей относительно умножения, называется кольцом с единицей. Эта единица называется единицей

и обозначается символом 1. Тогда для всех а з R имеет место la = al = а.

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения обратные к данному элементу не обязательно существуют, но в кольце с единицей обратные могут существовать. Это означает, что для заданного элемента а может существовать элемент Ь, такой что аЬ = I. Если это так, то b называется правым обратным к а. Аналогично, если существует элемент с, такой, что са = 1, то с называется левым обратным к а.

Теорема 2.2.3. В кольце с единицей: (i) Единица единственна.

(и) Если элемент а имеет и левый обратный Ь, и правый обратный с, то b = с. В этом случае элемент а называется обратимым, причем обратный элемент единствен (и обозначается через а ).

(iii) = а.

Доказательство. Аргументация аналогична использованной в доказательстве теоремы 2.1,2. □

Если кольцо содержит единицу, то можно произвольное число раз сложить ее саму с собой или вычесть из себя самой, получив, таким образом, бесконечную в обе стороны последовательность

.... - (1 + 1 + 1), - (1 + 1), -I, О, 1,

1 -f 1, 1 + 1 + 1, ... .

Эти элементы называются целыми кольца и иногда обозначаются просто как О, ±1, ±2, ±3, ±4, ... . Кольцо может содержать как конечное, так и бесконечное множество целых. Число целых в кольце с единицей называется его характеристикой. Если характеристика кольца равна конечному целому числу д, то целые этого кольца могут быть записаны в виде множества

1, I -f 1, 1 -f 1 1, ..,},

или в более простом, используемом для обычных целых чисел, обозначении

1, 2, 3..... q-l, 0\.

Это подмножество является подгруппой аддитивной группы кольца; на самом деле это циклическая подгруппа, порождаемая элементом 1. Следовательно, если характеристика кольца - конечное целое число, то сложение в кольце является сложением по модулю q. Если характеристика бесконечна, то целые кольца складываются как целые числа. Следовательно, каждое кольцо

с единицей содержит подмножество! которое ведет себя относительно сложения либо как Z, либо как Z/(q), В действительности оно ведет себя так же и относительно умножения, так как если аир - конечные суммы единицы кольца, то

.р = р + р + ... + р, где справа стоит а копий элемента р. Так как сложение целых в R ведет себя подобно сложению в Z или в Z/(q), то так же ведет себя и умножение в R.

В пределах кольца R каждый элемент а может быть возведен в целочисленную степень; а просто означает произведение т копий элемента а. Если кольцо содержит единицу и число целых кольца является простым, то иногда для упрощения степенных сумм оказывается полезной следующая теорема.

Теорема 2.2.4. Пусть р простое, и пусть R - кольцо с р целыми. Тогда для любого положительного целого числа т и любых э.1ементов а и из R

и, по непосредственному обобщению,

(£ ,) = 1;( Г)

для любого множества элементов из R.

Доказательство. Согласно биномиальному разложению,

(а±Р)= s()a(±P)-. где (f интерпретируется в R как сумма такого числа копий единицы кольца. Напомним, что в кольце с р целыми арифметика целых совпадает с арифметикой по модулю р. Следовательно, можно записать

. 1 обозначают вычисление по мо-

где двойные скобки вокруг ( дулю р. Теперь заметим, что

представляет собой целое число и р простое. Следовательно, знаменатель делит (р - 1)1 в области целых чисел, и

кратно р.